2014北京市东城区3月质量调研数学试题答案【理科】

2014北京市东城区3月质量调研数学试题答案【理科】

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选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|}，B＝{x|x 2－2x－3≤0}，则A∩(RB)＝
　　A．(1，4)        B．(3，4)      C．(1，3)      D．(1，2)
2．已知i是虚数单位， 若则z=
　　A．1－2i        B．2－i        C．2＋i       D．1＋2i
3．设aR，则“a＝-2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与
　　直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的
　　A．充分不必要条件             B．必要不充分条件          
　　C．充分必要条件               D．既不充分也不必要条件
4．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为
　　A.        B.             C.        D.
5．设a，b是两个非零向量．则下列命题为真命题的是
　A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
　B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
　C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
　D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
6．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为
　　　A. 　     B.            C.            D.
7  已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点,若在点处的切线平行于的一条渐近线，则
　　　A.         B.           C.         D.
8．设a＞0，b＞0．
　　A．若，则a＞b
　　B．若，则a＜b
　　C．若，则a＞b
　　D．若，则a＜b
　　　　　　　　　　　　　非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．记等差数列的前n项和为，已知.
　　　则．
10．如图，与圆相切于，不过圆心的割线与
直径相交于点.已知∠=，，
,则圆的半径等于    ．
11. 若函数有零点，则k的取值范围
为_______.
12．已知圆的方程为,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短
弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______________.　
13．已知的展开式中没有常数项，，且2 ≤ n ≤ 7，
则n=______．
14．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，
　　则a＝______________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
　　　设的内角所对的边长分别为，
且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．

16．(本小题满分13分)
　　某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.
　　（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
　　（II）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；
（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.
　　　
17．(本小题满分14分)
　　在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离.

18.（本小题满分14分）
　　　已知函数，其中
　　　若在x=1处取得极值，求a的值；
　　　求的单调区间；
　（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围 .
19．(本小题满分14分)
椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定
　　　点的坐标．
20.（本题满分12分）
　　　在数列中，a1=2，b1=4，且成等差数列， 成等比数列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：

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高三数学答案 （理科）         
　　一、选择题： 1．B；2．D；3．A；4．C； 5．C；6．C；7．D；8．A．
　　（第8题的提示：若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．）
　　
二、填空题： 9．10； 10．7； 11. ； 12 . 20；13．5；   14．
　　（第14题的提示 函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，-1)．
　　函数y1＝(a－1)x－1：过M(，0)，可得：a＞1；
函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，得：，舍去，）
　　
三、解答题：
15．(本小题满分13分)
（Ⅰ）在中，
　　由正弦定理及
　　可得
　　即，则=4.             --------6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)得
　　　
　　当且仅当时，等号成立，
　　故当时，的最大值为.     --------13分
16．(本小题满分13分)
　　（I）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人.          --------2分

（II）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率
　　　       --------5分
　　（III）的可能取值为0，1，2，3
17．(本小题满分14分)
（Ⅰ）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。
　　　又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，
　　　所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，
　　　所以A M⊥平面PCD，
　　　所以平面ABM⊥平面PCD   --------5分