2014北京市东城区3月质量调研数学试题答案【文科】

2014北京市东城区3月质量调研数学试题答案【文科】

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选择题部分（共40分）
一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=
　　A.{1，2，3，4，6}            B.{1，2，3，4，5}
　　C.{1，2，5}                  D.{1,2}
2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
   A. 众数　　    　B..平均数　    　　C.中位数　   　　  D.标准差
3. 已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为
　　A 1-2i          B 2-4i            C          D   1+2i
4．设是直线，a，β是两个不同的平面,
　　A. 若∥a，∥β，则a∥β       B. 若∥a，⊥β，则a⊥β
　　C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β       D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β
5． 函数的最大值与最小值之差为
   A　　　  B.  4　　　       C.  3　　　      D.
6．“是函数在区间内单调递增”的
　　A. 充分不必要条件           B.  必要不充分条件
　C. 充分必要条件             D.  既不充分也不必要条件
7．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线
的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
   A.  　B. 　　C. 　　D.
8．已知，且
　　，现给出如下结论：
　　①；②；③；④.
　　其中正确结论的序号是（   ）
　　A．①③         B．①④        C．②③          D．②④
                非选择题部分（共110分）
二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______.   
10. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线
　方程是           ．
11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为                .
12. 在数列中，， ，则
13. 已知平面向量，．若，
则_____________．
14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知
曲线C1：y=x2+a到直线ly=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线ly=x的距
离，则实数a=_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分12分）
　　　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.
16. （本题满分14分）
如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，
∠PAC=∠PBC=90 º
（Ⅰ）证明：AC=BC；
（Ⅱ）证明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若，且平面⊥平面，     
　　　求三棱锥体积.
17. （本题满分13分）
　　一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位辆)
　　 轿车A 　　轿车B 　　轿车C
　　舒适型 　　100 　　150 　　z
　　标准型 　　300 　　450 　　600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ) 求z的值；     
(Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下9.4,  8.6, 9.2,  9.6,  8.7,  9.3,  9.0,  8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
18．（本题满分14分）
      设函数
（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围．
19. （本题满分14分）
　　　已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．
20. （本题满分13分）
　　　对于项数为m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
　　　（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，
　　　　　写出所有的；
    （Ⅱ）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）.

东城区2013-2014学年度第二学期教学检测
　　　　　　　　　　　　　　　高三数学答案 （文科）         
一 、选择题：1.D;   2.D;   3.A;    4.B;    5.A;    6.C;;    7.D;    8.C.
二、填空题  9. 6;      10.;        11. ;   
　　　　　12. ;     13. ;        14.
三、解答题：
15.（本题满分12分）
　（Ⅰ）bsinA=acosB，
由正弦定理可得，
（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，
由余弦定理，，
解得，.
△ABC的面积=      
16. （本题满分14分）
（Ⅰ）因为是等边三角形，,
所以,可得.
（Ⅱ）如图，取中点，连结,,
则,,
所以平面,
所以.                     ．．．．．．7分