2014北京海淀二模数学试题答案【理科】(3)

数学（理科）参考答案
2014.5
阅卷须知:
　　　1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
　　　2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A    2.C    3.D    4.A.    5.D    6.B    7.C    8.D
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.{或}   10.11.1    12.2    13.
14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15.解：
（Ⅰ）由正弦定理可得    
（Ⅱ）由余弦定理可得         ----------------------------9分
又因为
　　　所以，即-------------------------------11分
　　　解得 -------------------------------12分
　　　经检验，由可得，不符合题意，
　　　所以舍去.--------------------13分
16.解：
（Ⅰ）因为平面
　　　又平面，平面平面，
所以.      ---------------------------------3分
因为为中点，且侧面为平行四边形
　　　所以为中点，所以.------------------------4分
（Ⅱ）因为底面，
所以，，                 ----------------------------------5分
又，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得-----------------------------6分
因为分别是的中点，
（Ⅲ）设平面的法向量，则
　　　由已知可得平面的法向量-------------------------------11分
所以--------------------------------13分
由题意知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.--------------------------------14分
16.解：
（Ⅰ）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，
由已知可得
设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，-------------------------------1分
因为两车是否出车相互独立，且事件互斥
　　　所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为.  --------------------------5分
{答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}
（Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3   
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
　　　因为关于轴对称，所以.----------------------------8分
　　　所以直线的方程为，即.------------------10分
　　　令，得到，所以.
　　　所以,以线段为直径的圆恒过和两点.--------------------------14分
{法4 :转化为文科题做，考查向量的取值}
（Ⅱ）法一：
　　　①当时，则
　　　　所以，，
　　　　由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次
　　　　小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.
　　　　所以，当时，恒成立.
　　　②当时，则
　　　　所以或
　　　　所以总有.
综上讨论，满足的的取值仅能是2.---------------------8分
法二：
　　　因为，所以数组的极差
　　　所以，
　　　若为最大数，则
　　　若，则
　　　若，则，
　　　当时，可得，即
　　　由可得
　　　所以
　　　将代入得
　　　所以当时，（）
　　　由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小
　　　数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.
　　　所以满足的的取值仅能是2.     ---------------------8分
（Ⅲ）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，
　　　所以是形如（其中）的数，
　　　又因为
　　　所以中每两个数的差都是3的倍数.
　　　所以的极差是3的倍数.------------------------------------------------9分
法1：设，不妨设，
　　　依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得.
　　　所以，当时，.
　　　，
　　　依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得.
　　　所以，当时，.
　　　，
　　　所以存在，满足的极差.--------------------------------13分
法2：设，则
　　　①当中有唯一最大数时，不妨设，则
　　　，
　　　所以
　　　所以，若是3的倍数，则是3的倍数.
　　　所以，则，，
　　　所以
　　　所以-------------------------------------------11分
　　　②当中的最大数有两个时，不妨设，则
　　　，
　　　所以，
　　　所以，若是3的倍数，则是3的倍数.
　　　所以，则，
　　　所以.
　　　所以当时，数列是公差为3的等差数列.------------------------------12分
　　　当时，由上述分析可得，此时
　　　所以存在，满足的极差

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