2015深圳高三上学期第一次五校联考文科数学试题及答案

2015深圳高三上学期第一次五校联考文科数学试题及答案


一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则
A． B．  C．            D．
2．设复数，，若，则
A． B． C．  D．
3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是
A． B．
C． D．
4．已知向量，且，则的值为
A． B． C．5 D．13
5．等差数列的前项和为，已知，则
A．B．C．D．
6．执行如右图所示的程序框图，则输出的=
A．B．C．  D．
7．将函数的图像向右平移个单位后所得的
图像的一个对称轴是
   A．B． C．D．
8．函数在区间[0，4]上的零点个数是
A．4B．5 C．6 D． 7
9．已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，
则的值为
A．B． C． D．
10．已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，有成立，则不等式
的解集是
A．B． C．D．
二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11. 函数的定义域为. 
12.一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为．
13.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程
为____.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. （几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，
，，则圆的面积为________．
15. （正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分13分）
某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．
（1）求和的值；
（2）计算甲组7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲组至少有一名学生的概率．
18．（本小题满分13分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC平面ABC；
（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．
19．（本小题满分14分）
各项均不相等的等差数列的前四项的和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式与前n项和；
（2）记为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数λ的最小值．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一个菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线过点时，求直线的方程；
（3）当时，求菱形面积的最大值．
21．（本小题满分14分）
已知函数，．
（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数的单调区间．
2015届高三年级第一次五校联考文科数学试卷
答案及评分标准
一、选择题：

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	B	A	D	B	C	D	A	C	D	A

二、填空题：
11．12． 13．14．  15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的最小正周期和值域；（2）若，求的值。
16. 解：（1）由已知，
所以的最小正周期为，值域为.         ……………………………6分
（2）由（1）知，所以.
两边平方得：，所以。……………………12分
 
17．（本小题满分13分）
某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83.
（1）求和的值；
（2）计算甲组7位学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
求甲组至少有一名学生的概率.
17. 解：（1）∵甲组学生的平均分是85，
 ∵乙组学生成绩的中位数是83，
∴.…………………………2分
（2）甲组7位学生成绩的方差为：
………………………5分
（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，
乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为.       …………………………6分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：.     …………………………9分
其中甲组至少有一名学生共有7种情况：
.…………………………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件，
则.…………………………12分
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为.
18. （本小题满分13分）
如图甲，在平面四边形ABCD中，已知，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC平面ABC；
（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．
∴ ,即…………………………1分