广东省惠州市2014届高三第三次调研考数学试题试卷(理科)

来源:未知 发布时间:2014-01-06 17:00:35 整理:一品高考网
惠州市2014届高三第三次调研考试数  学(理科)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
若复数是纯虚数,则实数的值为(   )
 .         .          .或      .
2.已知集合,集合,则(   )
3.设等比数列的公比,前项和为,则(   )
4. 执行右边的程序框图,若,则输出的(   )
5. 设椭圆的右焦点与抛物线
的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为(   )
6.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对10月2日9时到14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时到12时的销售额为(   )
7. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的表面积是(   )
8.已知函数则对于任意实数,
则的值为(   )
A.恒正     B.恒等于      C.恒负       D. 不确定
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)
(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.设随机变量服从正态分布,若,则的值为      .
10. 已知向量,,且,则    .
11. 某班级要从名男生、名女生中选派人参加社区服务,如果要求至少有名女生,那么不同的选派方案种数为           .(用数字作答)
12. 若,且当时,恒有,则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于           .
13. 对于,将表示为,当时,;当时,为0或1. 定义如下:在的上述表示中,当中等于1的个数为奇数时,;否则.则         .
(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分。
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是____________.
15.(几何证明选讲选做题)如图,已知圆中两条弦与相交于点,
是延长线上一点,且,,
若与圆相切,则线段的长为  
三、解答题:(本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.)
16.(本小题满分12分)
  在中,角为锐角,记角所对的边分别为,设向量
,且与的夹角为.
  (1)计算的值并求角的大小;
  (2)若,求的面积.
  
17.(本题满分12分)
  甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队人,每人回答一个问题,答对为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列和数学期望;
(2)用表示“甲、乙两个队总得分之和等于”这一事件,用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求.
18.(本小题满分14分)
  如图,平行四边形中,,,,沿将折起,使二面角是大小为锐角的二面角,设在平面上的射影为.
  (1)求证:; 
 (2)当为何值时,三棱锥的体积最大?最大值为多少?
19.(本小题满分14分)
正项数列的前项和满足:.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,数列的前项和为,证明:对于任意的,都有.
20.(本小题满分14分)
  如图,已知动圆过定点且与轴相切,点关于圆心的对称点为,动点的轨迹为.
  (1)求曲线的方程;
  (2)设是曲线上的一个定点,过点任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线相交于另外两点、,
证明:直线的斜率为定值.
21.(本小题满分14分)
已知函数.
(1)若,试确定函数的单调区间;
(2)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;
(3)设函数,求证:
惠州市2014届高三第三次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共8小题,每小题5分,满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B A C D A
1.【解析】1.由且得,选B;
2.【解析】集合,集合B为函数的定义域,所以,所以(1,2]。故选D
3【解析】解:故选C
4.【解析】解:,因此输出故选B
5.【解析】抛物线的焦点为(2,0),∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2,
  ∴,∴,∴椭圆的方程为 故选A。
6.【解析】设11时到12时的销售额为万元,依设有,选C
7. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为
故选D
8.【解析】【答案】A
解析:,可知函数所以函数为奇函数,同时,也是递增函数,注意到,所以同号,所以,选A
二.填空题:共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.  10.3    11.14  12.1  13.1  14.  15.
9.【解析】因为,所以得
10.【解析】由题意
11.【解析】6人中选4人的方案种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的方案总数有14种。
12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由恒成立知,当时,
   恒成立,∴;同理,∴以,b为坐标点
   所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为1.
13.【解析】依题意有
14.【解析】曲线即,表示圆心在(1,0),半径等于1的圆,直线即直线,故圆心到直线的距离为1。
15.【解析】设,则,由得。又

三、解答题:
17(本小题满分12分)
解:(1)解法一:由题意知,的可能取值为0,1,2,3,且  …………1分
所以的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为.…………7分
解法二:根据题设可知,,…………3分
因此的分布列为.…………5分
因为,所以.…………7分
(2)解法一:用表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以,且互斥,又…………8分
解法二:用表示“甲队得分”这一事件,用表示“乙队得分”这一事件,.
由于事件,为互斥事件,故有.
     由题设可知,事件与独立,事件与独立,…………10分
  当且仅当,即时取等号,     ………13分
 ∴当时,三棱锥的体积最大,最大值为.  ……14分
说明:向量法酌情给分
19(本小题满分14分)
(1)解:由,得. ………2分
由于是正项数列,所以. …………3分

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