2014肇庆二模数学试题答案【理科WORD版】

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参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高.
列联表随机变量. 与k对应值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数是纯虚数（是虚数单位），则实数
　　A．      B．3         C．1         D．1或
2．已知集合，若，则实数
　　A．2            B．         C．        D．
3．图1分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是
　　A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等；
B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙；
C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙；
　　D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
4．若如图2所示的程序框图输出的S是，
　　则在判断框中M表示的“条件”应该是
5．已知向量，则“且”
　　是“”的
　　A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件
　　C．充分必要条件       D．既不充分也不必要条件
6．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图3所示，
　　则该几何体的体积是
　　A．         B．30
　　C．40             D．42
7．已知实数，函数，
　　若，则的值为
　　A．           B．          C．          D．
8．设有一组圆：. 下列四个命题：
　　①存在一条定直线与所有的圆均相切；    ②存在一条定直线与所有的圆均相交；
　　③存在一条定直线与所有的圆均不相交；  ④所有的圆均不经过原点.
　　其中真命题的个数为
　　A．1              B．2           C．3             D．4
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9．已知等比数列满足，则  ▲  .
10．不等式的解集为  ▲  .
11．若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率等于  ▲  .
12．在的展开式中，的系数为  ▲  .
13．直角坐标系xOy中，已知两定点A（1，0），B（1，1）．动点满足，则点构成的区域的面积等于  ▲  .
14．（坐标系与参数方程选做题）已知C的参数方程为(为参数)，C在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴
　　为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为  ▲  .
15.（几何证明选讲选做题）如图4，在中，AB=BC，
　　圆O是的外接圆，过点C的切线交AB的延长线
　　于点D， BD=4，，则AC的长等于  ▲  ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
　　　已知锐角△ABC的面积等于，且AB=3，AC=4.
　　　（1）求的值；
　　　（2）求的值.
17.（本小题满分12分）
　　　为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课 不喜欢数学课 合计
男 30 60 90
女 20 90 110
合计 50 150 200
　　　（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？
　　　（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
　　　（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望.
18.（本小题满分14分）
　　　如图5，在四棱锥中，底面ABCD是边长为
2的菱形，且DAB=60. 侧面PAD为正三角形，其所在的平
面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.
　　　（1）求证：BG平面PAD；
　　　（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的
余弦值；
　　　（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，
使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.
19.（本小题满分14分）
　　　如图6，圆，P是圆C上的任意
一动点，A点坐标为（2，0），线段PA的垂直平分线l与半
径CP交于点Q.
　　　（1）求点Q的轨迹G的方程；
　　　（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为
BD的中点. ①若M的坐标为M（2，1），求直线BD所在的
直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹
G的中心. 求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）.

20.（本小题满分14分）
　　　已知正项数列满足（）.
　　　（1）证明：；
　　　（2）证明：；
　　　（3）证明：.
21．（本小题满分14分）
　　　已知函数，．
　　　（1）若a=1，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
　　　（2）求函数的单调区间；
　　　（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围．
数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C A D C B
8题解析：圆的圆心（k-1，3k）在直线y=3（x+1）上运动，因此存在定直线y=3（x+1）与所有的圆均相交；因圆的半径在变化，故①③错，②正确.
　　　对于④：假设存在某个圆经过原点，则（*），下面转化为这个关于k的方程是否有正整数解，可以从k的奇偶性分析：
　　　①若k为奇数，则k-1为偶数，3k为奇数，于是为偶数，为奇数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！
　　　②若k为偶数，则k-1为奇数，3k为偶数，于是为奇数，为偶数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！
　　　综上知，假设不成立，故④正确.

二、填空题
13题解析：由，得
设M（s，t），则，解得，由，得.
三、解答题
16.（本小题满分12分）
∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.         （4分）