湖南师范大学附中2015高三第一次月考理科数学试题试卷

湖南师范大学附中2015高三第一次月考理科数学试题试卷

炎德·英才大联考文科数学(附中版)
炎德·英才大联考湖南师大附中2015届高三月考试卷(一)
数学（理）试题
 (考试范围：高考全部内容(除选考部分))
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x²－2x<0}，N＝{x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是(A)
A．[2，＋∞)  B．(2，＋∞)  C．(－∞，0)  D．(－∞，0] 
2．下列四个命题
p₁：∃x∈(0，＋∞)，<　　p₂：∃x∈(0，1)，logx>logx
p₃：∀x∈(0，＋∞)，>logx  p₄：∀x∈，<logx
其中的真命题是(D)
A．p₁，p₃  B．p₁，p₄  C．p₂，p₃  D．p₂，p₄
3．在如右图所示的程序框图中输入10，结果会输出(D)
A．10  B．11  C．512  D．1 024
4．将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为(C)
A．－  B.  C.  D.
5．若实数x，y满足条件，则z＝x＋3y的最大值为(B)
A．9  B．11  C．12  D．16
6．不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则＋＝(C)
A．－2  B．0  C．2  D．不能确定
7．已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动，则·的最大值是(C)
A．1  B.  C．2  D.
8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为(D)
A.  B.  C.  D．2
【解析】如图所示，四面体为正四面体.
9．若曲线C₁：x²＋y²－2x＝0与曲线C₂：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是(B)
【解析】曲线C₁：(x－1)²＋y²＝1，图象为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C₂：y＝0，或者y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点(－1，0)，即曲线C₂图象为x轴与恒过定点(－1，0)的两条直线．作图分析：
k₁＝tan 30°＝，k₂＝－tan 30°＝－，
又直线l₁(或直线l₂)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m＝k∈∪.
10．已知集合A＝，其中a_i∈且a₃≠0，则A中所有元素之和等于(D)
A．3 240   B．3 120  C．2 997   D．2 889
【解析】由题意可知，a₀，a₁，a₂各有3种取法(均可取0，1，2)，a₃有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，
∴当a₀取0，1，2时，a₁，a₂各有3种取法，a₃有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a₀项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；
同理可得集合A中含有a₁项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18；
集合A中含有a₂项的所有数的和为(3²×0＋3²×1＋3²×2)×18；
集合A中含有a₃项的所有数的和为(3³×1＋3³×2)×27；
由分类计数原理得集合A中所有元素之和：
S＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(3²×0＋3²×1＋3²×2)×18＋(3³×1＋3³×2)×27
＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2 187＝2 889.故选D.
选择题答题卡

题　号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答　案	A[	D]	D	C	B	C	C	D	B	D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝____．


12．如右图，椭圆＋＝1的长轴为A₁A₂，短轴为B₁B₂，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A₂在平面B₁A₁B₂上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为____．
13．若f(x)＋f(x)dx＝x，则f(x)＝__x－__．
【解析】因为f(x)dx是个常数，不妨设为m，所以f(x)＝x－m，
其原函数F(x)＝x²－mx＋C(C为常数)，所以可得方程m＝－m，解得m＝.故f(x)＝x－. 
14．在函数f(x)＝aln x＋(x＋1)²的图象上任取两个不同的点P(x₁，y₁)、Q(x₂，y₂)，总能使得f(x₁)－f(x₂)≥4(x₁－x₂)，则实数a的取值范围为____．
【解析】由题意f′(x)≥4对任意x>0恒成立，也就是a≥＝.
15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁＝1，第2个五角形数记作a₂＝5，第3个五角形数记作a₃＝12，第4个五角形数记作a₄＝22，……，若按此规律继续下去，则a₅＝__35__，若a_n＝145，则n＝__10__.
【解析】根据图形变化的规律可归纳得a_n＝.
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
设f(x)＝sin－2cos²x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时y＝g(x)的最大值．
【解析】(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin，故f(x)的最小正周期为T＝＝8. (6分)