2015湖南雅礼中学二模文科数学试题及答案

湖南省长沙市雅礼中学2015届高三5月（二模）数学（文）试题【word版完整试题最后一页下载】

1．已知全集为R，集合A={x|x≥1}，那么集合等于C
  A．{x|x>l}    B．{x| x>－1}    C．{x| x<l}    D．{x| x<－1}
2．的
A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件
C．充分必要条件          D．既不充分又不必要条件
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是D
A．y= x³    B．y=     C．y= cosx     D．y=
4.若某市所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图），则这组数据的中位数是（   ）．
【答案】B
5. 已知向量满足，则向量与夹角的余弦值为（   ）
A．    B．      C．   D．
【答案】B
6.已知，，,．．．，以此类推，第5个等式为（    ）
【答案】D． 
7. 某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函数关系式是
，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（　　）
A.100台　　　　　　B.120台　　　　　　C.150台　　　　　　D.180台
【答案】C
8. ．函数的图象（   ）
A．关于对称         B．关于y轴对称  
C．关于原点对称           D．关于对称
【答案】A
【解析】
9. 双曲线的渐近线与圆相切，则r=
（A）       （B）2       （C）3       （D）6
答案：A
10．实数.设函数的两个极值点为,现向点所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使且x₂≥1的区域的概率为  (     ) ．
A．         B．           C．             D．
【答案】C
12.在极坐标系中，点到直线的距离等于      2          
13.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为   8      ．
14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为__________.

【答案】
15. 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足,且为偶函数，，则不等式的解集为                   
16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由·＝2，得c·acos B＝2，
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a²＋c²＝b²＋2accos B，
又b＝3，所以a²＋c²＝9＋2×2＝13.
联立得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝＝＝.
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cos C＝＝
＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝
×＋×＝.
17.某企业通过调查问卷（满分分）的形式对本企业名员工的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中名员工（名女员工，名男员工）的得分，如下表：
（1）根据以上数据，估计该企业得分大于分的员工人数；
（2）现用计算器求得这名员工的平均得分为分，若规定大于平均得分为“满意”，否则为“不满意”，请完成下列表格：
（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？
参考数据：

【答案】（1）估计有240名员工的得分大于分；
（2）如下表；
（3）能在犯错误的概率不超过%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关．
【解析】
试题分析：（1）从表中可知，3名员工中有8名得分大于分        1分
任选一名员工，它的得分大于分的概率是        2分
估计此次调查中，该单位共有名员工的得分大于分   4分
（2）完成下列表格：
        7分
（3）假设该企业员工“性别”与“工作是否满意”无关        8分
        11分
能在犯错误的概率不超过%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关     12分
18. 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA₁=,E,F分别是BC,AA₁的中点. 
求(1)异面直线EF和A₁B所成的角.
(2)三棱锥A-EFC的体积.
【解析】(1)取AB的中点D,连DE,DF,则DF∥A₁B,
∴∠DFE(或其补角)即为所求.
由题意易知,DF=,DE=1,AE=,
由DE⊥AB,DE⊥AA₁得DE⊥平面ABB₁A₁,
∴DE⊥DF,即△EDF为直角三角形,
∴tan∠DFE=,∴∠DFE=30°,
即异面直线EF和A₁B所成的角为30°.
(2)V_A-EFC=V_F-AEC=·S_△AEC·FA=.

19.等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，， ，．
 (Ⅰ)求数列和的通项公式；
 (Ⅱ)令设数列的前n项和，求．
试题解析：(Ⅰ)设数列的公差为d，数列的公比为q，则由得解得所以，．
 (Ⅱ)由，得，
20.已知椭圆的离心率为，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为，抛物线以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．
（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程； 
（Ⅱ）已知,是椭圆上两个不同点，且⊥，判定原点到直线的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．
【解析】（Ⅰ）由题知=，即=，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线距离=，∴=,解得=,∴=，解得=4,∴=1,∴=1，∴=2，∴椭圆的方程为，抛物线方程为；  5分
（Ⅱ）设（,）,（,）,当直线与轴垂直时，设：，则,∵⊥,∴===0,解得=，∴原点到直线的距离为． 7分．
当直线斜率存在时，设直线的方程为代入整理得，，则△=＞0，即，+=，=，∴==
=，∵⊥,∴==+=0，即，且满足△＞0，  10分