湖南省雅礼中学2014届高三第四次月考数学试题试卷（文）

雅礼中学2014届高三数学月考（四）（文科）高三数学备课组组稿（考试范围：高考全部内容）


一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，且，则的值是                （ B  ）
2.已知集合则满足的集合个数是       （ C  ）
3.是直线与直线平行的  （ A ）
4.若向量满足//，且，则（ D  ）
5．函数的部分图像如图所示，
如果，且，则    （ D  ）
6. 已知下列四个命题，其中真命题的序号是                       （  D  ）
　　① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
　　② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
　　③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；
　　④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；
　 ①②         ②③          ②④          ③④
7.函数  零点的个数                               （  D   ）
　 不存在         有一个          有两个          有三个
8.设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为  （ C  ）
9. 函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是    （ C  ）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
10. 在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标  
11. 如图1所示的流程图，输出的结果为
12. 若正三棱柱的三视图如图2所示，该三棱柱的体积是     
13. 已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是两曲线的交点，且轴，则椭圆的离心率为          .
14. 已知，是原点，点的坐标满足，则
（Ⅰ） 的最大值为                ；
（Ⅱ）的取值范围为           ．（用定义求。 ）
15. 在等差数列中，，，记数列的前项和为，
（Ⅰ）数列的通项             ；
（Ⅱ）若对恒成立，则正整数的最小值为         ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，已知：，且．
（Ⅰ）若，求边； 
（Ⅱ）若，求的面积．
16解：（Ⅰ）由已知，所以
，故，解得.        ……(4分)
由，且，得.
由，即，解得.                 ……(7分)
（2）因为，
所以，解得.                       ……(10分)
由此得，故为直角三角形.
其面积.  
17.（本小题满分12分）
　　　2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：
混凝土耐久性达标 混凝土耐久性不达标 总计
使用淡化海砂 25  30
使用未经淡化海砂  15 30
总计 40 20 60
（Ⅰ）根据表中数据，求出，的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？
（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？
参考数据：
0.10 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考公式：
17解：（Ⅰ）                                                ……(2分)
假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：

因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．…(6分)
（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为“混凝土耐久性不达标”的为1．
“混凝土耐久性达标”的记为 “混凝土耐久性不达标”的记为．
从这6个样本中任取2个，共有可能，
设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件，
它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（），（），
（），（），（）共5种可能，
所以.
则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是.                          ……(12分)

18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为矩形，且，
（Ⅰ）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．
18解：（Ⅰ）平面⊥平面∵ ∴
∵四棱锥的底面为矩形 ∴
∵⊂平面，⊂平面，且∩ ∴⊥平面      …(4分)
∵∥  ∴⊥平面  ∵⊂平面
平面⊥平面                                                    ……(6分)