江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考数学试题试卷
来源:未知 发布时间:2013-12-28 13:26:03 整理:一品高考网
一、填空题:
1. 已知集合,,则 ▲ .
2.已知命题“若,则”,则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是 ▲ .
3.设是纯虚数,是实数,且等于 ▲ .
4. 已知,则的值为 ▲ .
5. 在等差数列中,若,则该数列的前15项的和为 ▲ .
6. 已知直线⊥平面,直线m平面,有下面四个命题:
①∥⊥m;②⊥∥m;③∥m⊥;④⊥m∥
其中正确命题序号是 ▲ .
7. 已知,,与的夹角为,,则与的夹角为▲ .
8. 设均为正实数,且,则的最小值为 ▲ .
9.已知方程+-=0有两个不等实根和,那么过点的直线与圆的位置关系是
10.若动直线与函数的图象分别交于两点,则的最大值为
11. 设,,且,则
12. 函数在区间上是减函数,则的最大值为 ▲
13.已知椭圆与轴相切,左、右两个焦点分别为,则原点O到其左准线的距离为
14. 设,的所有非空子集中的最小元素的和为,则= ▲ .
二、解答题:
15.(本小题满分14分)
设向量,函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)求使不等式成立的的取值集合.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,垂直于底面,分别为的中点.
(1)求证:;
(2)求点到平面的距离.
17.(本小题满分14分)
某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.
18.(本小题满分16分)
已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,其中为正实数.(1)用表示;(2),若,试证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;(3)若数列的前项和,记数列的前项和,求..
19. (本小题满分16分)
如图所示,已知圆为圆上一动点,点是线段的垂直平分线与直线的交点.
(1)求点的轨迹曲线的方程;
(2)设点是曲线上任意一点,写出曲线在点处的切线的方程;(不要求证明)
(3)直线过切点与直线垂直,点关于直线的对称点为,证明:直线恒过一定点,并求定点的坐标.
20. (本小题满分16分)
设,两个函数,的图像关于直线对称.
(1)求实数满足的关系式;
(2)当取何值时,函数有且只有一个零点;
(3)当时,在上解不等式.
数学(附加题)
21.
B.(本小题满分10分)
已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点变换成, 求矩阵M..
C.(本小题满分10分)
在直角坐标系中,参数方程为的直线,被以原点为极点,
轴的正半轴为极轴,极坐标方程为的曲线所截,求截得的弦长.
22. (本小题满分10分)
设函数,.
(1)求的展开式中系数最大的项;
(2)若(为虚数单位),求.
23. (本小题满分10分)
电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体顶点起跳,每步从一顶点跳到相邻的顶点.
(1)求跳三步跳到的概率;
(2)青蛙跳五步,用表示跳到过的次数,求随机变量的概率分布及数学期望.
一、填空题
1. 2.2 3. 4. 5.15 6. ①③ 7. 8.16
9. 相切 10.2 11. 12. 13.14.
二、解答题
15.解:(1)
∴的单调递增区间为. …………8′
(2) 由,得.
由,得,则,
即. ∴使不等式成立的的取值集合为.……14′
16.解:(1)因为N是PB的中点,PA=AB,所以AN⊥PB,因为AD⊥面PAB,所以AD⊥PB,又因为AD∩AN=A从而PB⊥平面ADMN,因为平面ADMN,所以PB⊥DM. …………7′
(2) 连接AC,过B作BH⊥AC,因为⊥底面, 所以平面PAB⊥底面,所以BH是点B到平面PAC的距离.
在直角三角形ABC中,BH= ……………14′
17.解:(1)设每件定价为元,依题意,有,
整理得,解得.
∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.………7′
(2)依题意,时,
不等式有解, 等价于时,有解, ,
.
∴当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.……14′
18.解:(1)由题可得,所以在曲线上点处的切线方程为,即
令,得,即
由题意得,所以………………5′
(2)因为,所以
即,
所以数列为等比数列故 ………10′
(3)当时,,当时,
所以数列的通项公式为,故数列的通项公式为
19.解:(1)点是线段的垂直平分线,∴
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.
椭圆长轴长为焦距2c=2.
∴曲线E的方程为 ………5′
(2)曲线在点处的切线的方程是.………8′
(3)直线的方程为,即 .
设点关于直线的对称点的坐标为,
则,解得
直线PD的斜率为
从而直线PD的方程为:
即, 从而直线PD恒过定点.………16′
20.解:(1)设是函数图像上任一点,则它关于直线对称的点在函数的图像上,,.
(2)当时,函数有且只有一个零点,两个函数的图像有且只有一个交点,两个函数关于直线对称,两个函数图像的交点就是函数,的图像与直线的切点.
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