江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学试题答案

江苏省南通市2014届高三第一次调研测试
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，则  ▲  ．
　　【答案】{3，5}．
2． 已知复数，(为虚数单位)．在复平面内，对应的点在第  ▲  象限．
　　【答案】二．
3． 命题：“，”的否定是  ▲  ．
　　【答案】，．
4． 在平面直角坐标系中，抛物线上横坐标为1的点到其焦点的距离为  ▲  ．
　　【答案】3．
5． 设实数，满足则的最大值是  ▲  ．
　　【答案】7．
6． 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的
　　值是   ▲  ．
　　【答案】．
7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
城市 空气质量指数(AQI)
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
甲 109 111 132 118 110
乙 110 111 115 132 112
　　则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为  ▲  （填甲或乙）．
    【答案】乙．
8． 已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是  ▲  ．
　　【答案】．
9． 将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则等于  ▲  ．
　　【答案】．
10．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn．若log3［an(S4m+1)］=9，则+的最小值
　　是  ▲  ．
　　【答案】．
11．若向量，，且，则的值是  ▲  ．
　　【答案】1．
12．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是  ▲  ．
　　【答案】．
13．已知集合M=≤y≤，N=≥，则表示M∩N的图形面积等于  ▲  ．
　　【答案】．
14．若函数对任意实数，在闭区间上总存在两实数、，使得8成立，则实数的最小值为  ▲  ．
　　【答案】8．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
     如图，在四棱柱中，，，且．
    （1）求证：∥平面；
　　　（2）求证：⊥平面．
（1）证明：在四棱柱中，，
　　　平面，
　　　平面，
　　所以平面． ……………………………………………………………………6分
　　（2）证明：在四棱柱中，四边形为平行四边形，又，
　　　　　故四边形为菱形．
　　　　　从而．…………………………………………………………………………… 9分
　　　　　又，而，平面，
　　　　　所以平面． ………………………………………………………………… 14分
16．(本小题满分14分)
    在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=－3bcosA，tanC=．
    （1）求tanB的值；
    （2）若，求△ABC的面积．
　　（1）解：由正弦定理，得 ，………………………………………………2分
　　　　　即．
         所以．
         从而．
         因为，所以．……………………………………………………4分
         又，由（1）知，，
　　　　　解得．………………………………………………………………………………6分
　　（2）解：由（1），得 ，，． ………………………………10分
　　　　　由正弦定理，得．……………………………………………12分
　　　　　所以△ABC的面积为． ………………………………14分
17．(本小题满分14分)
　　已知a为实常数，y=f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x－+1．
　　（1）求函数f(x)的单调区间；
　　（2）若f(x)≥a－1对一切x＞0成立，求a的取值范围．
　　（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f(x)在区间(－∞，0)的单调性即可．
　　　　　f ′(x)＝2＋，令f ′(x)＝0，得x＝－a． …………………………………………………2分
　　　　　①当a≤0时，f ′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，0)是单调递增．  ……………………… 4分
　　　　　②当a＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，－a )是单调递增．
　　　　　　x ∈(－a，0)，f ′(x)＜0，所以f(x)在区间(－a，0)是单调减．……………………… 6分
综上所述：当a≤0时，f(x)单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a＞0时，f(x)单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a，0)，(0，a)．…………………… 7分
　　（2）解：因为f(x)为奇函数，
　　　　　所以当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－2 x－＋1)＝2x＋ －1． …………………… 9分
　　　　　①当a＜0时，要使f(x)≥a－1对一切x＞0成立，即2x＋ ≥a对一切x＞0成立．