2012年高考物理备课复习教案:弹簧类模型中的最值问题

来源:未知 发布时间:2012-05-16 11:51:36 整理:一品高考网
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弹簧类模型中的最值问题
    在高考复习中,常常遇到有关“弹簧类”问题,由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起,弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系,因此学生普遍感到困难,本文就此类问题作一归类分析。

一、最大、最小拉力问题
  例1. 一个劲度系数为k=600N/m的轻弹簧,两端分别连接着质量均为m=15kg的物体A、B,将它们竖直静止地放在水平地面上,如图1所示,现加一竖直向上的外力F在物体A上,使物体A开始向上做匀加速运动,经0.5s,B物体刚离开地面(设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内,且g=10m/s2)。求此过程中所加外力的最大和最小值。

图1
    解析:开始时弹簧弹力恰等于A的重力,弹簧压缩量,0.5s末B物体刚要离开地面,此时弹簧弹力恰等于B的重力,,故对A物体有,代入数据得。刚开始时F为最小且,B物体刚要离开地面时,F为最大且有,解得。
二、最大高度问题
  例2. 如图2所示,质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地面上,平衡时弹簧的压缩量为。一物体从钢板正上方距离为的A处自由下落打在钢板上,并立即与钢板一起向下运动,但不粘连,它们到达最低点后又向上运动,已知物块质量也为m时,它们恰能回到O点,若物体质量为2m仍从A处自由下落,则物块与钢板回到O点时还有向上的速度,求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。

图2
    解析:物块碰撞钢板前作自由落体运动,设表示物块与钢板碰撞时的速度,则:  ①
    物块与钢板碰撞后一起以v1速度向下运动,因碰撞时间极短,碰撞时遵循动量守恒,即:  ②
    刚碰完时弹簧的弹性势能为,当它们一起回到O点时,弹簧无形变,弹性势能为0,根据机械能守恒有:  ③
    设表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度,由动量守恒有:  ④
    碰撞后,当它们回到O点时具有一定速度v,由机械能守恒定律得:
      ⑤
    当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时两者分离,分离后,物块以v竖直上升,其上升的最大高度:
      ⑥
    解①~⑥式可得。
三、最大速度、最小速度问题
  例3. 如图3所示,一个劲度系数为k的轻弹簧竖直立于水平地面上,下端固定于地面,上端与一质量为m的平板B相连而处于静止状态。今有另一质量为m的物块A从B的正上方h高处自由下落,与B发生碰撞而粘在一起,已知它们共同向下运动到速度最大时,系统增加的弹性势能与动能相等,求系统的这一最大速度v。

图3
    解析:A下落到与B碰前的速度v1为:
      ①
    A、B碰后的共同速度v2为:  ②
    B静止在弹簧上时,弹簧的压缩量为x0,且:
      ③
    A、B一起向下运动到最大速度v时的位移为x,此时A、B的加速度为0,即有:  ④
    由机械能守恒得:
      ⑤
      ⑥
    解①~⑥得:
  例4. 在光滑水平面内,有A、B两个质量相等的木块,,中间用轻质弹簧相连。现对B施一水平恒力F,如图4所示,经过一段时间,A、B的速度等于5m/s时恰好一起做匀加速直线运动,此过程恒力做功为100J,当A、B恰好一起做匀加速运动时撤除恒力,在以后的运动过程中求木块A的最小速度。

图4
    解析:当撤除恒力F后,A做加速度越来越小的加速运动,弹簧等于原长时,加速度等于零,A的速度最大,此后弹簧压缩到最大,当弹簧再次回复原长时速度最小,根据动量守恒得:  ①
    根据机械能守恒得:  ②
    由以上两式解得木块A的最小速度v=0。
四、最大转速和最小转速问题
  例5. 有一水平放置的圆盘,上面放一个劲度系数为k的轻弹簧,其一端固定于轴O上,另一端系着质量为m的物体A,物体A与盘面间最大静摩擦力为Ffm,弹簧原长为L,现将弹簧伸长后置于旋转的桌面上,如图5所示,问:要使物体相对于桌面静止,圆盘转速n的最大值和最小值各是多少?

图5
    解析:当转速n较大时,静摩擦力与弹簧弹力同向,即:
      ①
   
    当转速n较小时,静摩擦力与弹簧弹力反向,即:
      ②
   
    所以圆盘转速n的最大值和最小值分别为:
    。

五、最大加速度问题
  例6. 两木块A、B质量分别为m、M,用劲度系数为k的轻质弹簧连在一起,放在水平地面上,如图6所示,用外力将木块A压下一段距离静止,释放后A做简谐运动,在A振动过程中,木块B刚好始终未离开地面,求木块A的最大加速度。

图6
    解析:撤去外力后,A以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动,当A运动到平衡位置上方最大位移处时,B恰好对地面压力为零,此时A的加速度最大,设为am。
    对A:由牛顿第二定律有
    对B:
    所以,方向向下。
六、最大振幅
  例7. 如图7所示,小车质量为M,木块质量为m,它们之间静摩擦力最大值为Ff,轻质弹簧劲度系数为k,振动系统沿水平地面做简谐运动,设木块与小车间未发生相对滑动,小车振幅的最大值是多少?

图7
    解析:在最大位移处,M和m相对静止,它们具有相同的加速度,所以对整体有:  ①
    对m有:    ②
    所以由①②解得:。
七、最大势能问题
  例8. 如图8所示,质量为2m的木板,静止放在光滑的水平面上,木板左侧固定着一根劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧的自由端到小车右端的距离为L0,一个质量为m的小木块从板的右端以初速度v0开始沿木块向左滑行,最终回到木板右端,刚好不从木板右端滑出,设木板与木块间的动摩擦因数为,求在木块压缩弹簧过程中(一直在弹性限度内)弹簧所具有的最大弹性势能。

图8
    解:弹簧被压缩至最短时,具有最大弹性势能,设m在M上运动时,摩擦力做的总功产生内能为2E,从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状态,系统均满足动量守恒定律,即:
      ①
    由初状态到弹簧具有最大弹性势能,系统满足能量守恒:
      ②

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