天津十二区县重点学校2013年3月联考数学试题答案【理科】(2)

来源:未知 发布时间:2013-04-06 08:49:28 整理:一品高考网

二、填空题: 每小题5分,共30分.
9.25 [来源;10. ;  11.;  12.;  13.;  14.
三、解答题
15.(本小题满分13分)
设函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;  (Ⅱ)求在区间上的值域;
(Ⅲ)若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到,
  求的单调增区间.
解:  (Ⅰ)
                          …………2分
                     …………4分
依题意得,故的值为.                               …………5分
(Ⅱ)因为所以,                    …………6分
                                       …………8分
   ,即的值域为                 …………9分
(Ⅲ)依题意得:     …11分
由                    …………12分
解得 
故的单调增区间为:     …………13分
16.(本小题满分13分)
  在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是.
  (Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;
  (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率;
解:(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
  依条件可知X~B(6,).
()
X的分布列为:
X 0 1 2 3 4 5 6
P      
  (注:每个概率1分,列表1分,共8分,没有过程只列表扣3分)………8分
  =.
  或因为X~B(6,),所以. 即X的数学期望为4. ………9分
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,
      则    …………12分
  (每个概率计算正确一分,共三分;列一个大式子,若计算错误则无分)
 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为      ……………………………13分
17.(本小题满分13分)
  如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)若,试求异面直线与
  所成角的余弦值.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.
17.解(Ⅰ)依题意,
所以是正三角形,                          ……1分
 又                        ……2分
 所以,                            ……3分
 因为平面,平面,所以
 因为,所以平面                 ……4分
 因为平面,所以平面平面         ……5分
 (Ⅱ)取的中点,连接、  ,连接,则
 所以是异面直线与所成的角                    ……7分
 因为,,
 所以 ,,       ……8分
 所以                   ……9分
                        
(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系                  ……1分
设(),
则                       ……2分
  (Ⅰ)设平面的一个法向量为,
 则                                    
 ,取,则,从而,         ……3分
 同理可得平面的一个法向量为,            ……4分
 直接计算知,所以平面平面              ……5分
(Ⅱ)由即      
解得                                                       
  ,                        ……7分

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