四川资阳市2014届高三第一次诊断性考试理科数学试题答案

四川省资阳市高中2011级第一次诊断性考试数 学（理工类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∩B＝
　（A）{3，5}        （B）{6，8}
　（C）{5，8}        （D）{3，4，5，6，7，8}
2．已知向量a＝(3, 4)，b＝(1, 3)，则a－2b＝
　（A）(1, 3)        （B）(1, －2)
　（C）(2, 1)        （D）(2, －2)
3．已知i是虚数单位，a，b∈R，且，则a＋b＝
　（A）1     （B）－1    （C）－2    （D）－3
4. 函数的定义域为
　（A）      （B）
　（C）        （D）
5. 命题，，则
　（A），     （B），
　（C），     （D），
6. 中，若，则
　（A）         （B）
　（C）         （D）
7. 若把函数（）的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能是
　（A）         （B）
　（C）         （D）
8. 函数的图象大致是
　           
　（A）       （B）    （C）      （D）
9．已知函数，若恒成立，则实数m的取值范围是
　（A）        （B）
　（C）        （D）
10．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则的取值范围是
　（A）        （B）
　（C）        （D）

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

注意事项：
　　必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
　　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边经过点，则___________.
12．若，，则______.
13．已知向量a，b的夹角为，，
且向量与垂直，则实数________.
14．已知，根据右图所示的程序框图，则
不等式的解集是____________.
15．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数的图象恰好通过（）个整点，则称为阶整点函数．给出下列函数：
①；②；③；④；⑤.
其中是1阶整点函数的序号有______________.（写出所有满足条件的函数的序号）
三、解答题：共6大题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）在等比数列中，，且，，成等差数列.
　　（Ⅰ）求；
　　（Ⅱ）令，求数列的前项和.

17.（本小题满分12分）设向量，，，，且∥，其中.
　　（Ⅰ）求；
　　（Ⅱ）若，，求.
18.（本小题满分12分）设是定义在实数集R上的奇函数，当时，.
　　（Ⅰ）求的解析式，并解不等式；
　　（Ⅱ）设，若对任意，总存在，使，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）已知函数（）.
　　（Ⅰ）求在内的单调递增区间；
　　（Ⅱ）在中，为锐角，且，，是边上一点，，试求的最大值．
20.（本小题满分13分）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，点在上，米，米．
　　（Ⅰ）要使扩建成的花坛面积大于，则的长度应在什么范围内？
　　（Ⅱ）当的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
21.（本小题满分14分）已知函数（）.
　　（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；
　　（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
　　（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，
求证：（其中是的导函数）．

资阳市高中2011级第一次诊断性考试数学参考答案及评分标准（理工类）
一、选择题：CBDAD，ACBCC.二、填空题：11.；12.1；13.；14.；15.①②④.
16.【解】（Ⅰ）设的公比为，由，，成等差数列，得.
又，则，解得. ∴（ ）. 6分
（Ⅱ），∴，是首项为0，公差为1的等差数列，
它的前项和. 12分
17.【解】（Ⅰ）∵//，∴， 2分
又，∴，∴， 4分
∵，∴，故. 6分
（Ⅱ）∵，，∴.
∵，∴；，． 9分
11分
　　　. 12分
18.【解】（Ⅰ）当时，； 1分
当时，有，由. 3分
∴的解析式为 4分
当时，为，解得；当时，为，解得.故不等式的解集是或. 6分
（Ⅱ）当时，，知；当时，
，知，∴当时，. 8分
∵是上的增函数，∴当时，， 9分
∵对任意，总存在使，∴， 10分
则解得，故实数的取值范围是. 12分
19.【解】（Ⅰ）
. 2分
由，得（）. 3分
取，得，又，则； 4分
取，得，又，则. 5分
∴在上的单调递增区间是，. 6分
（Ⅱ）由得.又，则，从而
，∴. 8分
由知是正三角形，，∴，
在中，由正弦定理，得，即.
∵是边上一点，∴，∴，知.
当时，取得最大值8. 12分
【另】在中，由正弦定理，得，∴，
，则
．∵，∴，，
当，即时，取得最大值8. 12分
20.【解】（Ⅰ）设（米），则.∵，∴，
则，. 2分
∴花坛的面积（）. 4分
由，得，则，∴或，
故的长度范围是或（米）. 8分
（Ⅱ）由， 12分
当且仅当，即（米）时，等号成立.
∴当的长度是4米时，扩建成的花坛的面积最小，最小值为24. 13分
【另】（Ⅰ）设（米）()，则. ∵∽，∴，
则，. 2分
∴花坛的面积（）. 4分
由，得，则，∴或，
故的长度范围是或（米）. 8分
（Ⅱ）由， 12分
当且仅当，即（米）时，等号成立.
∴当的长度是米时，扩建成的花坛的面积最小，最小值为. 13分
21.【解】（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，
切线的斜率，则切线方程为，即. 2分
（Ⅱ），则，
∵，故时，.当时，；当时，.
故在处取得极大值. 4分
又，，，则，