北京四中2015届高三上学期期中考试理科数学试题及答案(2)

6小题，共80分
15.解： .
（Ⅰ）的最小正周期为
      令，解得，
所以函数的单调增区间为.
（Ⅱ）因为，所以，所以 ，
于是  ，所以.
当且仅当时 取最小值 
当且仅当，即时最大值.
16．解: （Ⅰ）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是，.
当时，
当时，，
，
又时，所以，. 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以.
所以 ………(1)
等式两边同乘以得
17.解：（Ⅰ）函数的定义域为.
   
当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增.
当时，得
当变化时，变化情况如下
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
综上，当时，单调递增区间是，
当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.
（Ⅱ）当时，，令， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知.
18．解: （Ⅰ）∵,∴∴, 
∴ 
根据得,所以乙在缆车上的时间为（min）.
设乙出发（）分钟后,甲、乙距离为,则
∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 
（Ⅱ）由正弦定理得(m). 
    乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达.
设乙步行速度为,则
.解得. 
∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内. 
19. （Ⅰ）解： 1分
因为x = 2为f (x)的极值点，所以                         2分
即，解得：a = 0                                     3分
又当a = 0时，，当时，时，
从而x = 2为f (x)的极值点成立．                                 6分
（Ⅱ）解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，
∴在区间[3，+∞)上恒成立．     8分
①当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意．
②当a > 0时，在区间[3，+∞)上恒成立．
令，其对称轴为
∵a > 0，∴，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，
由，解得：
∵a > 0，∴．                                        13分
综上所述，a的取值范围为[0，]                               14分[来

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