2014北京市东城区3月质量调研数学试题答案【理科】(2)

方法一：
（Ⅱ）由（1）知，，又，
　　　则是的中点可得,
　　　设D到平面ACM的距离为，
　　　由 即，可求得，
　　　设所求角为，则.      --------10分
(Ⅲ)可求得PC=6, 因为AN⊥NC，由，得PN,
　　所以,
　　故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的.
又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，
由（Ⅱ）可知所求距离为 .  --------14分
方法二：
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，；
设平面的一个法向量，
　由可得：，
　令，则.
　设所求角为，则.
（Ⅲ）由条件可得，.
在中，,所以,
则, ，
所以所求距离等于点到平面距离的，
　　设点到平面距离为则，
所以所求距离为.       
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）
　　∵在x=1处取得极值，∴解得
　　①当时，在区间∴的单调增区间为
　　②当时，
　　（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，
　　当时，由（Ⅱ）②知，
　　在处取得最小值
　　综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 --------14分

19．(本小题满分14分)
　 (Ⅰ)由题：； (1)
　　　　左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)
　　　　由(1) (2)可解得：．
　　　∴所求椭圆C的方程为：．              --------5分
(II)设，由得 ，
　　以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，
　　，，
　　，，解得
　　，且满足.
　　当时，，直线过定点与已知矛盾；
　　当时，，直线过定点
　　综上可知，直线过定点，定点坐标为           --------14分

20.（本题满分12分）
（Ⅰ）由条件得
　　　由此可得
　　　．
　　　猜测． 4分
　　　用数学归纳法证明：
　　　①当n=1时，由上可得结论成立．
　　　②假设当n=k时，结论成立，即
　　　，
　　　那么当n=k+1时，
　　．
　　所以当n=k+1时，结论也成立．
　　由①②，可知对一切正整数都成立． 7分
（Ⅱ）．
　　n≥2时，由（Ⅰ）知．
　　综上，原不等式成立．  12分

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