2014北京东城二模数学试题及答案【理科】(2)

（11）                        （12）    
（13）                     （14）      
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
　　　所以，当时，即时，函数取得最小值；
　　　当时，即时，函数取得最大值．…………………13分

（16）（共13分）
    　　即随机抽取的市民中年龄段在的人数为
　　　　　　即抽取的人中年龄段抽取的人数为
　（Ⅲ）的所有可能取值为
（17）（共14分）
解：（I）由，.,
　　　　　可得．
　　　　　由，且，
　　　　　可得．
　　　　　又．
　　　　　所以．
　　　　　又平面平面，
　　　　　平面 平面 ，
　　　　　平面，
　　　　　所以平面．　　　　　　　　　……………５分
　　　（II）如图建立空间直角坐标系
　　　　　　设是平面的一个法向量，则
　　　　　　设直线与平面所成的角为，
　　　　　　则．
　　　　　　所以和平面所成的角的正弦值
　　　　　　设是平面一个法向量，则，，
　　　　　　即
　　　　　　令，则．
　　　　　　若平面平面，则，即，.
　　　　　　所以，在线段上存在一点使得平面平面.……………14分

（18）（共13分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为,，
        因为，
　　　　所以，当，或时，；
　　　　　　　当时，．
　　　　所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……6分
　（Ⅱ）因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
　　　　又，，
　　　　所以，当时，．
　　　　由，可得．
　　　　所以当时，函数在区间上是增函数，
　　　　所以，当时，．
　　　　所以，当时，
　　　　对于任意的，都有，，所以．
　　　　当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
　　　　所以，当时，．
　　　　所以，当时，
　　　　对于任意的，都有，，所以．
　　　　综上，对于任意的，都有． ……………13分

（19）（共13分）
解（Ⅰ）依题意有，．
        可得，．
　　　　故椭圆方程为．
（Ⅱ）直线的方程为．
　　　联立方程组
　　　消去并整理得．
　　　设的中点为．
　　  可得，．
　　　直线的斜率为，又 ，
　　　所以．
　　　当△为正三角形时，，
　　　可得，
　　　解得．         
　　　即直线的方程为

（20）（共14分）
　　（Ⅱ）假设是一个位数（），
　　　　　那么可以设，
　　　　　其中且（），且．
　　　　　由可得，．
　　　　　　　　　　所以．
　　　　　因为，所以．
　　　　　而，
　　　　　所以，即．                     ………………9分
　　（Ⅲ）由，即，可知．
　　　　　同理，可知．
　　　　　由数学归纳法知，对任意，有．
　　　　　即对任意，有．
　　　　　因此，存在（），有．
　　　　　则，，…，，
　　　　　可得对任意，，有．
　　　　　设，即对任意，有．
　　　　　若，取，，则有．
　　　　　若，由，可得，
　　　　　取，，则有

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2014北京东城二模数学试题及答案【理科】