2014北京朝阳二模数学试题答案【理科】(2)

一、选择题（满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B  C C  D D A C B
二、填空题（满分30分） 
题号 9 10 11 12 13 14
答案        ②③
三、解答题（满分80分）
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由得，．
　　　所以．
　　　由得，，
　　　所以．   
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）根据题意，
　　　参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），
　　　参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）．
　所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人．
　    所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的
　　　概率估计为                     ……………5分
   （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为
　　　　　由已知得，随机变量的可能取值为．
　　　　随机变量的分布列为
　　　　 因为 ~，所以．               ……………13分
17．（本小题满分14分）
　　证明：（Ⅰ）如图，连结．
　　　因为底面是正方形，
　　　所以与互相平分．
　　 又因为是中点，
　　 所以是中点．
　　在△中，是中点，是中点，
　  所以∥．
　　又因为平面，平面，
　　所以∥平面．                                    ……………4分
（Ⅱ）取中点．在△中，因为，
     所以．
　　　因为面底面，
　　　且面面，
     所以面．
　　　因为平面
　　　所以．
     又因为是中点，
　　　所以．
　　如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系．
因为，所以，则，，，，，，，．
　　于是，，．
　　因为面，所以是平面的一个法向量．
　　设平面的一个法向量是．
　　  因为所以即
　　　令则．
　　　所以．
　　　由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．…10分
（Ⅲ）假设在棱上存在一点，使面．设，
      则． 由（Ⅱ）可知平面的一个法向量是．
    因为面，所以．
　　于是，，即．
　　又因为点在棱上，所以与共线．
　　因为，，
　　所以．
　　所以，无解．
　　故在棱上不存在一点，使面成立．           ……………14分
18．（本小题满分13分）
　　（Ⅰ）由已知得．
　　　　因为曲线在点处的切线与直线垂直，
　　　　所以．所以．
　　　　所以．                                        ……………3分
　（Ⅱ）函数的定义域是，．  
　　（1）当时，成立，所以的单调增区间为．
　　（2）当时，
　　　　令，得，所以的单调增区间是；
　　　　令，得，所以的单调减区间是．   
　　综上所述，当时，的单调增区间为；
　　　　　　　当时，的单调增区间是，
　　　　　　　　　　　　　的单调减区间是．     ……………8分
　（Ⅲ）当时，成立，．    
　　“当时，恒成立”
　　　等价于“当时，恒成立．”
　　　设，只要“当时，成立．”
　　　．
　令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；  
　令得，，又因为，所以函数在上为增函数．
　　所以函数在处取得最小值，且．
　　所以．   又因为，
　　所以实数的取值范围．                   ……………13分
（Ⅲ）另解：
　　（1）当时，由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，所以．
　　　　　所以当时，有成立．
　　（2）当时， 可得．
　　　由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，
　　　　所以在上单调递增，又，所以总有成立．
　 （3）当时，可得．