2014北京朝阳二模数学试题答案【文科】(2)

另解：
由于，所以，解得.
由于,所以.
由，得.
由勾股定理，解得.    
16.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意可知，
　　参加社区服务在时间段的学生人数为（人），
　　参加社区服务在时间段的学生人数为（人）．
　　所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 （人）．
　（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件．
　　由（Ⅰ）可知，
　　参加社区服务在时间段的学生有4人，记为；
　　参加社区服务在时间段的学生有2人，记为．
    从这6人中任意选取2人有
　　　共15种情况．
    事件包括共7种情况．
    所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．………13分
17. （本小题满分14分）
　证明：（Ⅰ）如图，连结．
　　　因为底面是正方形，
　　　所以与互相平分．         
　　  又因为是中点，
　　 所以是中点．
　在△中，是中点，是中点，
　  所以∥．
　　又因为平面，平面，
　　所以∥平面．                                        ………4分
（Ⅱ）因为平面底面，且平面平面，
      又，
     所以面．
     又因为平面，
     所以．即．                           ………9分    
（Ⅲ）在△中，因为，
     所以．
　　　由（Ⅱ）可知，且，
　　　所以平面．
　　　又因为平面，
　　　所以面平面．                               ………14分  
　18. （本小题满分13分）
　（Ⅰ）,.
　　　　　当时，.
　　　　　依题意，即在处切线的斜率为.
　　　　　把代入中，得.
　　　　　则曲线在处切线的方程为.     ………………….4分
　 （Ⅱ）函数的定义域为.
　由于.
　（1）若，
　当，即时，函数为增函数；
  当，即和时，函数为减函数.
（2）若，
　  当，即和时，函数为增函数；
　　当，即时，函数为减函数.
综上所述，时，函数的单调增区间为；单调减区间为，.
时, 函数的单调增区间为，;单调减区间为.
                                                      ………………….9分
（Ⅲ）当时，要使恒成立，即使在时恒成立. 设，则.可知在时，，为增函数；
  时，，为减函数.则.从而.
　　另解：(1)当时，，所以不恒成立.
         (2)当且时，由（Ⅰ）知，函数的单调增区间为，单调减区间为.所以函数的最小值为，依题意，
         解得.
　　　　　综上所述，．                               ………………….13分
19. （本小题满分14分）
（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为.
　依题意 解得，，所以.
　所以椭圆的标准方程是.                  ………………….4分      
（Ⅱ）不存在实数，使，证明如下：
把代入椭圆C:中，整理得.
由于直线恒过椭圆内定点，所以判别式.
设，则,.
依题意，若，平方得.
　　　整理得，
　　　所以,
　　　整理得，矛盾．
　　　所以不存在实数，使.    ………………….14分  
20. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）在中，取，得，
　　在中，取，得，…………2分
　（Ⅱ）在中，令，，
　　得，即.
　　所以是等差数列，公差为2，又首项，所以,.
　　                                                           …………6分
（Ⅲ）存在最大项和最小项
　　　令，则，
　　　显然，又因为，
　　　所以当，即时，的最大项为.
　　　当，即时， 的最小项为.

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