2015重庆巴蜀中学三诊理科数学试题及答案(2)

＝2sin＋－m.
∴函数f(x)在2x＋＝时取得最大值，即2＋－m＝2，解得m＝.
(2)∵f(A)＝0，∴2sin＝0，∴sin＝0，由A为锐角，解得A＝.
∵sin B＝3sin C，由正弦定理得b＝3c，①∵△ABC的面积为，
∴S_△ABC＝bcsin A＝bcsin ＝，即bc＝3.②由①和②解得b＝3，c＝1.
∵a²＝b²＋c²－2bc·cos A＝3²＋1²－2×3×1×cos，∴a＝.
18. （1）平均年龄为：
（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率为，所以该城市20-80年龄段市
民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的概率为。又题意知，，
所以，，
∴随机变量X的分布列如下表：
∴随机变量X的数学期望.
19,解：(1)证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得，CE＝＝1，DE＝＝3，所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BCA＝45°，所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD得，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
(2)解法一　作OH⊥PC于点H，连结DH.由(1)知DO⊥平面PAC，
故DO⊥PC.所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH.
故∠DHO是二面角A­PC­D的平面角，所以∠DHO＝60°.
在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝.
在Rt△PAC中＝.设PA＝x，可得＝.解得x＝，即AP＝.
解法二　由(1)知AC⊥BD.以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O­xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，D(－，0,0)．
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－，t)(t＞0)．
设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，
由＝(－，－2，0)，＝(－，，－t)
知，取y＝1，得m＝.
又平面PAC的一个法向量为n＝(1,0,0)，于是＝＝＝，
解得t＝，即AP＝.所以
20．解：（1），有
，所以斜率为，所以切线为
（2）求导：，令，解得，所以函数在递增，递减，所以在，取得最小值
故恒成立，等价于，即要成立。
令，，所以知在递增，递减。
有，所以当时，，
所以时，对任意恒成立。
所以取值集合。


21. 解：（1）由题意知，，左右焦点坐标为
所以，所以椭圆标准方
22.证明：（1）两边取倒：，则，
有，所以数列是首项，公比等比数列，
所以，则
（2）欲证原结论，只需证
现先用数学归纳法证：
     当时，左右两边显然相等。
     假设时， 
     则时，

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