重庆一中2015年高二10月定时练习理科数学试题及答案(2)

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为＋＝1，
可知|PF|＝2＋x1，同理|QF|＝2＋x2，
|MF|＝ ＝2＋，
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，
∴2＝4＋(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2.
(ⅰ)当x1≠x2时，由
得x－x＋2(y－y)＝0，
∴＝－·.
设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝＝－，
得线段PQ的中垂线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，
该直线恒过一定点A.
(ⅱ)当x1＝x2时，P，Q或P，Q，
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A.
综上，线段PQ的中垂线过定点A.


21. 解：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆E经过A(－2,0)、B(1，)两点，∴，
∴a2＝4，b2＝3
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)，不妨设y1＞0，y2＜0，
如图，设△F1MN的内切圆的半径为R，则
＝(|MN|＋|MF1|＋|NF1|)R＝[(|MF1|＋|MF2|)＋(|NF1|＋|NF2|)]R＝4R
当最大时，R也最大，△F1MN的内切圆的面积也最大，
又＝|F1F2||y1|＋|F1F2||y2|，
|F1F2|＝2c＝2
∴＝|y1|＋|y2|＝y1－y2
由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
则Δ＝(6m)2＋4×9(3m2＋4)＞0恒成立，y1＋y2＝，y1·y2＝
∴y1－y2＝
＝＝
∴＝
设＝t，则t≥1，且m2＝t－1，
∴＝＝，
∴函数f(t)在[1，＋∞)上是单调减函数，
∴fmax(t)＝f(1)＝3，即的最大值是3
∴4R≤3，R≤，即R的最大值是，
∴△F1MN的内切圆的面积的最大值是，此时，m＝0，直线l的方程是x＝1.

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