2015江门3月模拟数学试题及答案【理科】(2)

（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）
⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此的所有可能取值为0，1，2，3……7分
的期望为……13分（列式正确1分）
⒙⑴……1分
⑵时，
……4分（上式每个等号1分）
时，，所以，……5分
⑶由⑵知，时，……7分
……9分
……11分
……12分，……13分
∵单调递增，∴，……14分
⒚⑴设四棱柱的棱长为
∵，∽，∴……1分
由，，得，……2分
∵，∴，……3分
是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面……4分
∵平面，∴平面平面……5分
⑵（方法一）过作于，于，连接……6分
由平面平面，平面平面，
平面……7分
∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角……9分
在中，，，，，在中，，，，（、求得任何一个给2分，两个全对给3分）……12分
，……13分
（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系……6分，则
，，……7分
设平面的一个法向量为，则……9分，即，不妨取……10分，由⑴知，……11分，平面的一个法向量为
……12分，二面角的平面角的余弦值……13分
⒛⑴依题意，……2分，由得……3分
，椭圆的方程为……4分
⑵（方法一）若存在满足条件的直线，∵，∴，设直线的方程为……5分
由……6分，得……7分
由已知，若线段的中点为，则，……10分
，即……11分
由……12分，解得……13分
时，，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线
……14分
（方法二）假设存在， ，线段的中点为，则，……5分
由两式相减得：
……7分，代入、化简得：     ①……8分
由已知，则，……9分
由得，   ②……10分
由①②解得，即……11分
直线CD的方程为：……12分
联立得 ……13分
∵，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线
依题意，，解得……2分
⑵由⑴，直线的方程为，即……3分
作，
则……4分，……5分（用其他适当的数替代亦可）
因为在上是连续不断的曲线，，在内有零点，，从而切线与曲线在区间至少有1个公共点……6分
⑶，是的一个单调区间当且仅当在上恒大于等于零，或恒小于等于零，由，作
，由得……7分……9分
在上的最小值为，所以，当且仅当时，在上单调递增……11分
下面比较与的大小
（方法一）由，，以及在上单调递减得……12分
……13分
，
∴，当且仅当时，在上单调递减，综上所述，的取值范围为……14分
（方法二）由，，以及的单调性知，……12分
由知，单调递减……13分
由得，，，∴，当且仅当时，在上单调递减，综上所述，的取值范围为……14分
（“单调递增……11分”以下，若直接写，再给1分）

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