广东省惠州市2014届高三第三次调研考数学试题试卷(理科)(2)

于是时,. ………5分
综上,数列的通项.  …………………6分
20（本小题满分14分）解：（1）（法1）设，因为点在圆上，
且点关于圆心的对称点为，
　　所以，               …………1分
且圆的直径为．…………2分
　　由题意，动圆与轴相切，
所以，两边平方整理得：，
　　所以曲线的方程．            ……………………………………6分
　　（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，
　　连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）．
　　在直角梯形中，，
即动点到定点的距离比到轴的距离1．…………………3分
　　又动点位于轴的上方（包括轴上），
所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等．
　　故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．
　　所以曲线的方程．       ……………6分
　　（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2．
　　设直线的斜率为（），则直线的斜率为．  ………………7分
　　因为是曲线：上的点，
所以，直线的方程为．
　　由，解得或，
所以点的坐标为，……………9分
以替换，得点的坐标为．   ……………10分
所以直线的斜率为定值．………14分
　　（法2）因为是曲线：上的点，所以，．
　　又点、在曲线：上，所以可设，，   ……7分
　　而直线，的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即，……9分
整理得．……10分   所以直线的斜率…11分

…13分  …14分为定值．………14分
21（本小题满分14分）
解：（1）由得，所以．……2分
由得，故的单调递增区间是，
　　由得，故的单调递减区间是…………4分
（2）由可知是偶函数．
　　于是对任意成立等价于对任意成立．……5分
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．故，符合题意．…6分
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
　　由此可得，在上，．
　　依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．……9分

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