广东省肇庆市2014届高三上学期期末质量检测数学试题试卷(文)

肇庆市中小学教学质量评估2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（文科）

参考公式：锥体的体积公式其中S为锥体的底面积，为锥体的高
台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合大于且小于5的整数}，则(  )
　A.     B.   C.    D.
2．函数的定义域是（    ）
  A.     B.    C.     D.
3．若（为虚数单位）则复数的共轭复数
A．      B.     C.    D.
4.已知平面向量, , 且, 则向量是(    )
　　A．    B．      C．     D．
5．已知变量满足约束条件，则的最大值是(   )
  A.    B.      C.    D. 
6．执行如图1所示的程序框图．若，则输出的值是（　　）
A．      B.   C．   D．

7．在中，分别是角的对边长.已知,则（    )
A.              B.            C.           D.
8．已知圆和圆关于直线对称，则直线的方程是（  ）
  A．   B.     C.      D.
9．某圆台的三视图如图2所示(单位：cm)，则该圆台的体积是
   A.      B.     C.       D. 
10．已知集合,若对于任意,存在,使得成立,则称集合是“好集合”.给出下列4个集合:
①                  ②
③                ④
其中所有“好集合”的序号是（   ）
A．①②④       B．②③      C．③④    D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.
（一）必做题（11～13题）
11．设为等差数列的前n项和，，则         
12．若曲线在点处的切线与直线垂直，则______.
13．已知直线过椭圆的左焦点和一个顶点B.则该椭圆的离心率
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为         
15.（几何证明选讲选做题）如图3，过外一点分别作切线和割线，为切点，为割线与的交点，过点作的切线交于点. 若，，则.
三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为．
(1) 求的值；(2) 若，求．
17.（本小题满分12分）
　　从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间，，，进行分组，得到频率分布直方图,如图4.
(1) 根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值.
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的柚子中共抽取5个，其中重量在的有几个？
(3) 在（2）中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在的柚子最多有1个的概率．
18. （本题满分14分）
　　　如图，在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，棱垂直底面，，，，是的中点.（1）证明平面ABC；（2）证明：BC平面PAC；（3）求四棱锥的体积.
19.（本小题满分14分）
已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求.（3）证明：
20. （本小题满分14分）
　　已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段中点的横坐标为,求直线的方程;
(3) 若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.

21．（本小题满分14分）
已知函数.（1）若，求在上的最小值；
（2）若存在，使，求的取值范围．

肇庆市中小学教学质量评估2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（文科）参考答案

一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C D B A D B
二、填空题：
11．     12.    13.   14.    15.
1【解析】  ，，所以
2【解析】 由 得且
3【解析】 
4【解析】  ∵,∴,∴
5【解析】 “角点”坐标分别为，
6【解析】 第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：； 第四次循环：，结束；输出
7【解析】 ∵，∴
∵=,∴sinB===.
8【解析】方程经配方，得圆心坐标是，半径长是2.圆的圆心坐标是 ，半径长是2.因为两圆关于直线对称，所以直线是线段OC的垂直平分线.线段OC的中点坐标是 ，直线OC的斜率 ,所以直线的斜率，方程是 ，即.
9【解析】 圆台上底面积为，下底面积为，
高为 ，体积
10【解析】对于①不成立，故选项A、D错；对于④，，由，
即， ，不成立. 故选项C错；所以选B.
11【解析】设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.
12【解析】，由得
13【解析】由得,∴=,即=.
14．【解析】先将极坐标化成直角坐标表示， 转化为点 ，即过点且平行于轴的直线为，再化为极坐标为 
15【解析】由条件得，所以，又，由切割线定理有，故  
三、解答题
16【解析】(1)由，得   (2分)   
17【解析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于（克） (2分) 
　（2）从图中可知，重量在的柚子数
　　　（个）   (3分)
　　重量在的柚子数
从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在的个数为
（3）由（2）知，重量在的柚子个数为3个，设为，重量在的柚子个数为2个，设为，则所有基本事件有：，
共10种                           (9分)
其中重量在的柚子最多有1个的事件有：，
共7种   
所以，重量在的柚子最多有1个的概率.                 (12分)