广东省肇庆市2014届高三上学期期末质量检测数学试题试卷(理)

肇庆市中小学教学质量评估2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（理科）

参考公式：1、锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则(  )
　A.     B.   C.    D.
2．设复数（是虚数单位），则复数的共轭复数      
A．        B.         C.         D.  
3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　　）
A. B. C.  D. 
4．已知实数满足则的最大值是(     )．
  A.       B.       C.       D.
5．执行如图1所示的程序框图,输出的值为（     ）
A．  B．  C．  D．
6．某几何体的三视图如图2所示(单位：cm), 则其体积和表面积分别是（    ）
A. 和     B. 和    
C. 和     D. 和
7．平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是(    )
A.28                 B.29                 C.30                 D.27
8．已知集合，若从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，；当时，，.则（  ）．
   A.      B.      C.    D.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9．函数 的定义域为                
10．若等比数列满足，则         
11．在的展开式中常数项是____________.（用数字作答）
12．曲线的切线中,斜率最小的切线方程为___________.
13．在平面直角坐标系中，已知点A是半圆 上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是    
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为      .
15.（几何证明选讲选做题）如图3，在中，，于点,以为直径的圆与交于点，若，，则
三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
　　已知函数,的最大值为.
(1) 求的值；      (2) 若,,求．

17.（本小题满分12分）
一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：
学生    
语文（分） 87 90 91 92 95
英语（分） 86 89 89 92 94
根据表中数据，求英语分对语文分的线性回归方程；
要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望
（附:线性回归方程中，其中为样本平均值，的值的结果保留二位小数.）
18. （本题满分14分）
　　如图4，在四棱锥，平面，，四边形是直角梯形中，．
（1）求证: 平面；（2）求二面角的余弦值．
19.（本小题满分14分）
已知数列满足,, 
（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.
(3)证明：
20. （本小题满分14分）
　　已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若线段中点的横坐标为,求直线的方程;
(3) 若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.

21．（本小题满分14分）
已知函数(其中常数).
(1) 当时，求的单调区间；
(2) 若在 处取得极值，且在上的最大值为，求的值.

肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题高三数学（理科）参考答案

一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D D A B D
二、填空题：
9．   10. 8   11. 45  12.   13.  
14.   15.
4【解析】画图可知，四个角点分别是，可知
6【解析】几何体是个“半”圆锥，其体积为
表面积为
7【解析】(1)红点连蓝点有=23条;(2)红点连红点有=6条,所以共有29条.
8【解析】当时，，，，所以。由于， ，所以猜想.
9【解析】由得 或，故填
10【解析】由
11【解析】 的通项为Tr+1=，令40-5r=0,解得r=8，代入得常数项为=45.
12【解析】.当时, ,当时,.
∴切线方程为,即.
13【解析】如图，半圆即，
设点，由于 与的方向相同，故=λ，且 λ＞0，
当点A在点M（2，2）时，=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．
当点A在点N（2，﹣2）时， =2a+（﹣2b）=20，且a=﹣b，解得b=﹣5．
综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是.
14【解析】将代入得，又在两曲线上，所以交点的极坐标为
15【解析】在中，有，由切割线定理有，所以，可得 
三、解答题:
16【解析】∵函数的最大值为,∴   
故回归直线方程为                  (6分)
(2)随机变量的可能取值为0,1,2.
故的分布列为
18（1）证明：∵平面，  ∴．（1分）  
又∵，∴       （2分）
过C作，交AD于E，则（3分）
又∵，∴平面．（6分）
（2）（方法一）∵，∴平面．（7分） 
过作于，连结，可知．        （8分）
∴是二面角的平面角．  
∴．即二面角的余弦值为． （14分）
（方法二）如图建立空间直角坐标系，设，则
设平面的法向量为，
则，即化简得
令，得，所以是平面的一个法向量.      （10分）
又平面ACD的一个法向量为                               （11分）