河北正定中学2014届高三上学期第五次月考数学试题试卷

2013-2014学年度第五次月考·数学试题
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则集合等于
　　A.         B.         C.         D. 
2. 已知i是虚数单位，则复数的虚部等于
　　A.             B.             C.             D．1
3. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为
　　A． B． C． D．
4. 在等差数列中，，那么该数列
的前14项和为
A．20           B．21           C．42         D．84
5. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为
“同簇函数”．给出下列函数：
其中“同簇函数”的是
　　A.①②        B.①④        C.②③         D.③④
6．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的
正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
　　A.       B.      C.       D.
7. 如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线 ,及
直线,与x轴围成，向矩形内随机投掷一点，
若落在阴影部分的概率为，则的值是
　　A.        B.      C.           D.
8. 如图,,点在线段的延长线上,分别为的边上的点.若与共线,与共线,则的值为
A． B．0 C．1 D．2
9. 在等腰梯形中，，，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为
　　A.         B.         C.           D.
10. 已知，、满足，且的最大值是最小值的倍，则的值是
　　A. B. C. D.
11.  已知双曲线是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，且直线的斜率分别为，若的最小值为1，则双曲线的离心率为
　　A.             B.              C.              D.
12. 可导函数的导函数为，且满足：①；②，记， ，则的大小顺序为      
　　A. B. C. D.
第II卷
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸上）
13. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：
根据上述分解规律，若，的分解中最小的正整数是21，则________．
14. 若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是     .
15. 中,,是的中点,若,则___．_____.
16. 已知函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,等式成立．若数列满足,
,则的值为           ．
三、解答题（本大题共有6各小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
　　　在等差数列中，，其前项和为，等比数列 的各项均为正数，，公比为，且，.
　　（1）求与；
　　（2）设数列满足，求的前项和.
18. (本题满分12分)
　　已知函数，．
　　(1)若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的的值；
　　(2)设的内角、、的对边分别为、、，满足，且，求、的值.
19. (本题满分12分)
　　　在三棱柱中，，侧棱面，分别是棱的中点，点在棱上，且．
　　(1)求证：平面；
　　(2)求二面角的余弦值．
20.（本小题12分）
　　　时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.
　　（1）求的值；
　　（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）
21．（本小题12分）
　　已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
　　（Ⅰ）求椭圆的方程；
　　（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.
22．（本小题12分）
　　已知函数（为常数，2.71828……是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.
　　（1）求的值；
　　（2）求的单调区间；
　　（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，.
高三第五次月考·数学答案
一、选择题：BDCBD   ABBCA  BC
二、填空题：13.11  14.   15.     16.4017
三、解答题：
17.解（1）设的公差为.
因为所以……………………3分
解得 或（舍），
（2）由（1）可知，，
所以.……………………8分
故…………10分
18.解（1）.............3分
当即时，
当即时，；  
（2），则，  
,,所以，
所以，      .....................................9分
因为，所以由正弦定理得   
由余弦定理得，即
解得：.................................................12分
19.解：（1）证明：取的中点，，
为的中点，又为的中点，，
在三棱柱中，分别是的中点，
，且，
则四边形为平行四边形，,
,又面，面,
则面...........................................6分
(2)空间直角坐标系，则，，，，
∴，，．
设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，
则由得取，
又由得取，
则，
故二面角E－BC1－D的余弦值为．............................12分
20.解：（1）因为时，，  
代入关系式，得，
解得. ………………………………………………………4分.