2015湖北高考数学试题答案【理科word附答案】(2)

如图，在阳马中，侧棱底面，
且，过棱的中点，作交于
点，连接 
（Ⅰ）证明：．试判断四面体是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，
      求的值．
20．（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

W	12	15	18
P	0.3	0.5	0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（本小题满分14分）
一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线
总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分14分）
已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；
（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：. 

绝密★启用前 
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A   2．B   3．D   4．C   5．A   6．B   7．B   8．D   9．C   10．B
二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）
11．9                12．2                13．
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③    15．         16．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17．（11分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：

	0
	0	5	0		0

且函数表达式为.                            
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.
         因为的对称中心为，. 
         令，解得， . 
     由于函数的图象关于点成中心对称，令，
     解得，. 由可知，当时，取得最小值.          
18．（12分）
（Ⅰ）由题意有， 即
解得 或 故或                                          
19．（12分）
（解法1）
（Ⅰ）因为底面，所以，
    由底面为长方形，有，而，
所以. 而，所以. 
又因为，点是的中点，所以. 
而，所以平面. 而，所以.
又，，所以平面. 
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.                              
（Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 
的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. 
又因为底面，所以. 而，所以. 
故是面与面所成二面角的平面角， 
设，，有，
在Rt△PDB中, 由, 得, 
则 , 解得. 
所以 
故当面与面所成二面角的大小为时，. 
（解法2）
（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，，
于是，即. 
又已知，而，所以. 
因, , 则, 所以.
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.                                              
（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；
由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. 
若面与面所成二面角的大小为，
则，
解得. 所以 
故当面与面所成二面角的大小为时，.               
20．（12分）
（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有
目标函数为  ．                                    
当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为． 
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
当时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为. 
将变形为，
当时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利．
       故最大获利的分布列为