湖南师范大学附属中学2015高三第一次月考文科数学试题试卷(2)

(n)＝____.
【解析】由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(0)＝N(1)＝1.
(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]
　＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]
　＝4²＋S(2)＝4²＋4¹＋S(1)＝4²＋4¹＋4⁰＋S(0)＝22.
(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2ⁿ－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2ⁿ)]
＝[1＋3＋5＋…＋(2ⁿ－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2^n－1)]，
∴S(n)＝4^n－1＋S(n－1)(n≥1)，
∴S(n)＝4^n－1＋4^n－2＋…＋4¹＋4⁰＋1＝.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos²ωx＋1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求当x∈(0，]时f(x)的值域．
【解析】(1)f(x)＝sin ωxcos ωx＋＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
∵ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝2.　(6分)
(2)由(1)得：f(x)＝sin＋.
∵0<x≤，∴<2x＋≤，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
∴1≤f(x)≤，
∴f(x)的值域是.　(12分)
17．(本题满分12分)
某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：

组序	分组	频数	频率
第一组	[180，210)	5	0.1
第二组	[210，240)	10	0.2
第三组	[240，270)	12	0.24
第四组	[270，300)	a	b
第五组	[300，330)	6	c

(1)求表中a、b、c的值；
(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人？
(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【解析】(1)由表知5＋10＋12＋a＋6＝50，
则a＝17，b＝＝0.34，c＝＝0.12.　(4分)
(2)因为10×＝4，所以在第二组学生中应抽取4人．　(7分)
(3)从5名学生中随机抽取2人有10种取法(可列举出来)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有6种(也列举出来)，则所求概率P＝＝.　(12分)
18．(本题满分12分)
如图，已知三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，
PC＝BC＝4，AB＝2，E、F分别是PB、PA的中点．
(1)求证：侧面PAB⊥侧面PBC；
(2)求三棱锥P－CEF的外接球的表面积．
【解析】(1)∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，则AB⊥侧面PBC，AB⊂侧面PAB，
故侧面PAB⊥侧面PBC.　(6分)
(2)∵PC＝BC＝4，E为PB的中点，∴CE⊥PB，
而侧面PAB垂直侧面PBC于PB，∴CE⊥EF.
由E、F分别是PB、PA的中点有EF∥AB，
则EF⊥侧面PBC.
故EC、EF、EP两两垂直，　(9分)
三棱锥P－CEF的外接球就是以EC、EF、EP为长、宽、高的长方体的外接球，易求得EC＝EP＝2，EF＝1，
其外接球的直径是＝，
故所求三棱锥P—CEF的外接球的表面积是4π＝17π.　(12分)
19．(本题满分13分)
已知函数f(x)＝x³＋ax²－(a＋2)x＋b(a，b∈R)在[－1，1]上是减函数．
(1)求实数a的取值范围；
(2)设<a<1，若对任意实数u、v∈[a－1，a]，不等式|f(u)－f(v)|≤恒成立，求实数a的最小值．
【解析】(1)由函数f(x)＝x³＋ax²－(a＋2)x＋b(a，b∈R)在[－1，1]上是减函数得：
x∈[－1，1]时，f′(x)＝x²＋ax－a－2≤0恒成立．　(3分)
∴，可得a≥－.　(6分)
(2)∵<a<1，∴－<a－1<0，∴[a－1，a]⊂[－1，1]，
故f(x)在[a－1，a]上是减函数，　(7分)
∴f_max＝f(a－1)＝(a－1)³＋a(a－1)²－(