湖南师范大学附属中学2015高三第一次月考文科数学试题试卷(3)

a＋2)(a－1)＋b，
f_min＝f(a)＝a³＋a³－a(a＋2)＋b.
依条件有f_max－f_min≤，
∴f_max－f_min＝－2a²＋a＋≤，　(11分)
即8a²－10a＋3≥0，
20．(本题满分13分)
如图，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，定点A(c是双曲线的半焦距)，双曲线虚轴的下端点为B.过双曲线的右焦点F(c，0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足2＝＋(O为原点)，且A、B、D三点共线．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若a＝2，过点B的直线l交双曲线的左、右支于M、N两点，
且△OMN的面积S_△OMN＝2，求l的方程．
【解析】(1)∵B(0，－b)，A，易求得P.
∵2＝＋，即D为线段FP的中点，
∴D.　(3分)
又A、B、D共线．
而＝，＝，
∴·(－b)＝，得a＝2b，　(5分)
∴e＝＝＝＝.　(6分)
(2)∵a＝2，而e＝，∴b²＝1，
故双曲线的方程为－y²＝1.①　(7分)
∴B点的坐标为(0，－1)，设l的方程为y＝kx－1，②
②代入①得(1－4k²)x²＋8kx－8＝0，
由题意得：，得：k²<.　(9分)
设M、N的坐标分别为(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，
则x₁＋x₂＝.
而S_△OMN＝|OB|(|x₁|＋|x₂|)＝|x₁－x₂|
＝
＝＝＝2，　(11分)
整理得24k⁴－11k²＋1＝0，解得：k²＝或k²＝(舍去)．
∴所求l的方程为y＝±x－1.　(13分)
21．(本题满分13分)
设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内整点的个数为a_n(横纵坐标均为整数的点称为整点)．
(1)n＝2时，先在平面直角坐标系中作出区域D₂，再求a₂的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式；
(3)记数列{a_n}的前n项的和为S_n，试证明：对任意n∈N^*
恒有＋＋…＋<成立．
【解析】(1)D₂如图中阴影部分所示，
∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，
∴a₂＝＝25.　(3分)
(另解：a₂＝1＋3＋5＋7＋9＝25)
(2)直线y＝nx与x＝4交于点P(4，4n)，
据题意有a_n＝＝10n＋5.　(6分)
(另解：a_n＝1＋(n＋1)＋(2n＋1)＋(3n＋1)＋(4n＋1)＝10n＋5)
(3)S_n＝5n(n＋2)．　(8分)

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