湖南师范大学附中2015高三第一次月考理科数学试题试卷(2)

(2)法一：
在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos，
当0≤x≤时，≤x＋≤ ，因此y＝g(x)在区间 上的最大值为y_max＝cos＝.(12分)
法二： 
因区间关于x＝1的对称区间为， 且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故y＝g(x)在区间上的最大值为y＝f(x)在区间上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin.当≤x≤2时，－≤x－≤.
因此y＝g(x)在区间上的最大值为y_max＝sin＝.(12分)
17．(本题满分12分)
某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、， 且通过各次测试的事件相互独立．
(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；
(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p₁，第二项能通过的概率为p₂，第三项能通过的概率为p₃，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p₁、p₂、p₃表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．
【解析】(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为＝， [来源:]
故甲选手能通过海选的概率为1－＝.(3分)
若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，
因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为＝，
即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为.(5分)
(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.
P(ξ＝1)＝p₁，P(ξ＝2)＝(1－p₁)p₂，P(ξ＝3)＝(1－p₁)(1－p₂)p₃.
故ξ的分布列为

ξ	1	2	3
P	p1	(1－p1) p2	(1－p1)(1－p2)p3

(8分)
Eξ＝p₁＋2(1－p₁)p₂＋3(1－p₁)(1－p₂)p₃(10分)
分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分)
18．(本题满分12分)


如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BC＝6，且BD＝1，cos∠ADB＝.
(1)求证：平面AEC⊥平面BCED；
(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：∵BD⊥平面ABC
∴BD⊥AB，又因为 BD＝1，cos∠ADB＝.
故AD＝，AB＝10＝直径长，(3分)
∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC.
∵AC∩EC＝C，∴BC⊥平面ACE，又BC⊂平面BCED，
∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)


(2)法一：存在，如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)．
则＝(－8，6，1)，＝(0，－6，3)，
设＝λ＝λ(0，－6，3)＝(0，－6λ，3λ)，0<λ<1
故＝＋＝(－8, 6－6λ，1＋3λ)
由(1)易得平面ACE的法向量为＝(0，6，0)，
设直线AM与平面ACE所成角为θ，
则sin θ＝＝＝，解得λ＝.(10分)
所以存在点M，且＝时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为. (12分)
法二：(几何法)
如图，作MN⊥CE交CE于N，连接AN，则MN⊥平面AEC，故直线AM与平面ACE所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.


设MN＝2x，由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为，得AM＝x，所以AN＝x.
另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN＝x，NC＝4－x
而AC＝8，故Rt△ANC中，由AN²＝AC²＋NC²
得17x²＝64＋(4－x)²，∴x＝2，∴MN＝4，EM＝2
所以存在点M，且EM＝2时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为. (12分)
19．(本题满分13分)
等比数列{a_n}中的前三项a₁、a₂、a₃分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．


(1)求此数列{a_n}的通项公式；
(2)若数列{b_n}满足b_n＝3a_n－lg a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n.
【解析】(1)经检验，当a₁＝5或4时，不可能得到符合题中要求的等比数列；
故有a₁＝3，a₂＝6，a₃＝12，等比数列公比q＝2，
所以a_n＝3·2^n－1.(5分)
(2)由a_n＝3·2^n－1得b_n＝3a_n－lg a_n＝9×2^n－1－(－1)ⁿ.
所以S_n＝9(1＋2＋…＋2^n－1)－(lg 3－lg 2)
－lg 2(9分)
n为偶数时，S_n＝9×－lg 2＝9(2ⁿ－1)－lg 2.
n为奇数时，S_n＝9×＋(lg 3－lg 2)－lg 2＝9(2ⁿ－1)＋lg 2＋lg 3.
所以， S_n＝(13分)


20．(本题满分13分)
已知圆C：(x－1)²＋(y－1)²＝2经过椭圆Γ∶＋＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求·的最大值．
【解析】(1)在C：(x－1)²＋(y－1)²＝2中，
令y＝0得F(2，0)，即c＝2，令x＝0，得B(0，2)，b＝2，
由a²＝b²＋c²＝8，∴椭圆Γ：＋＝1.(4分)
(2)法一：
依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x₁，kx₁)，Q(x₂，kx₂) 
由得：(1＋2k²)x²＝8，∴x₂