湖南衡阳2015高三上学期五校联考理科数学试题及答案(2)

A． B．
C．                   D． 
9、设,若是的最小值,则的取值范围为【  D 】
   A. [-1,2]  B. [-1,0]            C. [1,2]  D. [0,2]
10．在△ABC中，已知，P为线段AB上的点，且的最大值为               （  A   ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题 (每小题5分，共25分) ：
11、 等于          ．
12．函数在区间上的最小值是        ．
13.数列中，已知，则________.
14．方程有解，则的最小值为_________1
15下列命题中，真命题有___(1)(2)(4)____(写出所有真命题的序号)
⑴在中，“”是“”的充要条件；
⑵点为函数的一个对称中心；
⑶若，向量与向量的夹角为°，则在向量上的投影为；
⑷.
三．解答题：共6个大题，共75分。请在规定的地方作答，要有必要的步骤和格式，只写答案而无步骤不给分。
16、（本题满分12分）已知函数（），
（1）求函数的最小值；
（2）已知，：关于的不等式对任意恒成立；
：函数是增函数．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．
故实数的取值范围是       （12分）
17 （本题满分12分）
设的内角所对的边分别为且.
(1)求角的大小;     (2)若,求的周长的取值范围. 
17. 解(1)由得  
故的周长的取值范围为                        ……….12分
18．（本小题满分12分）
已知数列
Ⅰ）求数列的通项公式；
Ⅱ）若求数列的前n项和
19、（本小题满分13分）直三棱柱中,,
点在上.
(Ⅰ)若是中点,求证:平面;
(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值.
解：(Ⅰ)连接交于点,连接,
  因为直三棱柱中侧面为矩形,所以
  为的中点,又是中点,
  于是,且面 , AC₁⊄平面B₁CD
  所以平面;      （6分）
 (Ⅱ)由知,即,
  又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间
  直角坐标系如右图所示,于是,
  又,由平面几何易知,
  显然平面的一个法向量为,
又设平面的一个法向量为,则由
,得,
解得,取,则,设二面角的平面角为,
则,又由图知 为锐角,
所以其余弦值为.       （13分）
20．（本小题13分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。
(Ⅰ)当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
(Ⅱ)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
19．解析：(Ⅰ)当时，设该工厂获利为，则
，所以当时，，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损；  ………5分
(Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为        ………………6分
（1）当时，，所以，因为，所以当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以当时，取得极小值。………………9分
（2）当时，，当且仅当，即时，取最小值，………………12分
因为，所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少。………………13分
21．（本小题满分13分）
设函数有两个极值点,且.
（1）求实数的取值范围；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
21.  解:(1)由可得.
  令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,
解得.                                ……………………4分
   (2)由(1)可知,其中,故
      ①当时,,即在区间上单调递增；
      ②当时,,即在区间上单调递减；
      ③当时,,即在区间上单调递增.………8分
   (3)由(2)可知在区间上的最小值为.
      又由于,因此.又由
可得,从而.
      设,其中,
      则.
      由知:,,故,故在上单调递增.
      所以,.
      所以,实数的取值范围为.……………………………13分

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