2015南通三模数学试题及答案(5)

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值．
解：由，得，
即直线l的方程为．…………………………………………………… 3分
由得曲线的普通方程为，圆心坐标为，……… 6分
所以，圆心到直线的距离，由，则．……………… 10分


D．[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．
证：因a＞b＞c＞d，故ab＞0，bc＞0，cd＞0． 
故，…………… 6分
所以，．………………………………………………… 10分


【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
 文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，正四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，．
（1）求与面所成角的正弦值；
（2）点在侧棱上，若二面角EBDC₁的余弦值为，
求的值．
解：（1）以为原点，DA，DC，DD₁分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系Dxyz．
设，则D（0，0，0），A（1，0，0），
B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2）．                     2分
（1）设与面所成角的大小为，
，
设平面的法向量为n（x，y，z），
，，则，即．
令，则，所以，，
所以与平面所成角的正弦值为．………………………… 6分
（2）设E(1，0，)，0≤≤2．
设平面的法向量为n₁（x₁，y₁，z₁），平面的法向量为n₂（x₂，y₂，z₂），
，
由，得，
令，则，，，
由，得，
令z₂=1，则x₂=2，y₂=2，，，
所以，得．所以．…………………………… 10分

23．（本小题满分10分）
袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为X_n． 
（1）求随机变量X₂的概率分布及数学期望E(X₂)；
（2）求随机变量X_n的数学期望E(X_n)关于n的表达式．
解：（1）由题意可知X₂3，4，5．
当X₂3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X₂3)；
当X₂4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P(X₂4)；
当X₂5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X₂5)．…… 3分
所以随机变量X₂的概率分布如下表：

（一个概率得一分  不列表不扣分）
数学期望E(X₂)．……………………………… 5分
（2）设P(X_n3+k)p_k，k0，1，2，3，4，5．
则p₀+p₁+p₂+p₃+p₄+p₅1，E(X_n)3p₀+4p₁+5p₂+6p₃+7p₄+8p₅．
P(X_n+13)，P(X_n+14)p₀+p₁，P(X_n+15)p₁+p₂，P(X_n+16)p₂+p₃，
P(X_n+17)p₃+p₄，P(X_n+18)p₄+p₅，……………………… 7分
所以，E(X_n+1)
3×p₀+4×(p₀+p₁)+5×(p₁+p₂)+6×(p₂+p₃)+7×(p₃+p₄)+8×(p₄+p₅)
p₀+p₁+p₂+p