2015南通三模数学试题及答案(4)

₁，x₂(x₁＜x₂)，求证：2＜x₁+x₂＜1．
解：（1）由题设，，故在(1，e²)上单调递减．…………………… 2分
所以在(1，e²)上至多只有一个零点．
又＜0，故函数在(1，e²)上只有一个零点．…………… 4分
（2），令0，得x1．
当x＞1时，＜0，在上单调递减；
当0＜x＜1时，＞0，在(0，1)上单调递增，
故f(1)a1．……………………………………………………… 6分
①当0，即a1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分
②当＜0，即a＜1时，f(x)＜0恒成立，不合题设；
③当＞0，即a＞1时，一方面，＞1，＜0；
另一方面，＜1，≤2aea＜0(易证：e^x≥ex)，
于是，f(x)有两零点，不合题设．
综上，a的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分
（3）证：先证x₁+x₂＞2．
依题设，有a，于是．
记t，t＞1，则，故．
于是，x₁+x₂x₁(t+1)，x₁+x₂2．
记函数g(x)，x＞1．
因＞0，故g(x)在上单调递增．
于是，t＞1时，g(t)＞g(1)0．
又lnt＞0，所以，x₁+x₂＞2．…………………………………………………………… 13分
再证x₁+x₂＜1．
因f(x)0h(x)ax1xlnx0，故x₁，x₂也是h(x)的两零点．
由a1lnx0，得x(记p)．
仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有 
作函数h(x)，则≥0，故h(x)单调递增．
故，当x＞p时，h(x)＞h(p)0；当0＜x＜p时，h(x)＜0．
于是，ax₁1x₁lnx₁＜．
整理，得＞0，
即，＞0．
同理，＜0． 
故，＜，
，
于是，．
综上，2＜x₁+x₂＜1．……………………………………………………… 16分
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
             若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB于H．
求证：PA·AHPC·HB．


证：连AC，AB．
因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．
又AH⊥PB，故AH²CH·HB，即．……………………………… 5分
因PA为圆O的切线，故∠PAC∠B．
在Rt△ABC中，∠B+∠ACB0°．
在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB0°．
所以，∠HAC∠B．
所以，∠PAC∠CAH，
所以，，即．
所以，，即PA·AHPC·HB．………………………………………… 10分


B．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，，，求△的面积．
解：因，，，
即．…………………………………………………… 6分
故．……………………………………………………………… 10分
C．[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r＞0）．以原点O为极点，