江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学试题答案(2)

　　　　　　而当x＝－＞0时，有－a+4a≥a，所以a≥0，则与a＜0矛盾．
　　　　　　所以a＜0不成立．………………………………………………………………………11分
　　　　　②当a＝0时，f(x)＝2x－1＞－1=a－1对一切x＞0成立，故a＝0满足题设要求．…12分
　　　　　③当a＞0时，由(1)可知f(x)在(0，a)是减函数，在(a ，+∞)是增函数．
　　　　　　所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0时也满足题设要求． ………………… 13分
　　　　　综上所述，a的取值范围是．…………………………………………………… 14分
18．(本小题满分16分)
如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)， AD∥EF，且点A、D在上，设∠AOD=．
    （1）求矩形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；
    （2）当矩形铁片ABCD的面积最大时，求cos的值．
（1）解：设矩形铁片的面积为，．
　　　　　当时（如图①），，，
　　　　　．…………………………… 3分
　　　　　当时（如图②），，，
　　　　　综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为
　　　　　……………………………………………………… 7分
　　　（2）解：当时，求导，得
　　　　　记区间内余弦值等于的角为（唯一存在）．列表：
  
增函数 极大值 减函数
　　　　　又当时，在上的单调减函数，
         所以当即时，矩形的面积最大．………………………………… 16分
19．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点，且，．
　　（1）求椭圆的方程；
　　　（2）求直线AB的斜率．
（1）解：依题意，解得
　　　　　所求椭圆的方程为． ………………………………………………………… 6分
　　　（2）解：设，则．
　　　　　由，得．…………………………………………………… 8分
　　　　　代入椭圆方程，得．
　　　　　整理，得，………………………………………………… 10分
　　　　　即．                     ③ …………………………………………… 12分
　　　　　设，同理可得．  ④ …………………………………………… 14分
         ③④，得，即直线AB的斜率为． …………………… 16分
20．(本小题满分16分)
已知等差数列{an}、等比数列{bn}满足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+ b1，a1+ b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列．
    （1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{an}和数列{bn}中取项：
第1次从数列{an}中取a1，
第2次从数列{bn}中取b1，b2，
第3次从数列{an}中取a2，a3，a4，
第4次从数列{bn}中取b3，b4，b5，b6，
……
第2n－1次从数列{an}中继续依次取2n－1个项，
第2n次从数列{bn}中继续依次取2n个项，
……
由此构造数列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，记数列{cn}的前n和为Sn．求满足Sn＜22014的最大正整数n．
　　（1）解：设等差数列{an}的公差为，等比数列{bn}的公比为，
　　　依题意，得   解得a1=d=1，b1=q=2．
　　　　　故an=n，bn=2n．…………………………………………………………………………… 6分
（2）解：将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，……以此类推，则第n组中，有2n－1项选取于数列{an}，有2 n项选取于数列{bn}，前n组共有n2项选取于数列{an}，有n2＋n项选取于数列{bn}，记它们的总和为Pn，并且有． ………… 11分

数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准
21．【选做题】
选修4—1：几何证明选讲
   （本小题满分10分）
    在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN2AM．
    求证：ABAC．
                                   证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，
       所以 ① …………………………… 3分
       又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，
选修4—2：矩阵与变换
   （本小题满分10分）
    设二阶矩阵，满足，，求．
　　解：设，因为，………………………………………………… 2分