2015上海静安区期末质检理科数学试题及答案(2)_上海高考试题

又由角B为锐角，得；…………………………（6分）
（2），又，所以，…………………………（8分）
根据余弦定理，得
，…………………………（12分）
所以=16，从而=4．…………………………（14分）
备考建议：带领学生回忆正弦定理与余弦定理的适用情形（如对边对角同时出现，一般选择使用正弦定理；三边一角同时涉及时，一般选择使用余弦定理，等等），以及正、余弦定理的一些变形形式，特别是出现两边之和的形式往往和余弦定理的变形式有关。
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.
某地的出租车价格规定:起步费元，可行3公里，3公里以后按每公里元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里元计算（这里、、规定为正的常数，且），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
（1）若取，，，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）
（2）求车费（元）与行车里程(公里)之间的函数关系式.
考点：函数关系的建立，分段函数
答案：（1）他应付出租车费26元；……………………………（ 4分）
（2）
备考建议：遇到应用题，要提醒学生仔细审题，对涉及参量范围及特性的语句要养成圈划习惯。同时，求出函数对应关系时，切记要留意函数的定义域。

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.
（1）设，将长表示为的函数；
（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
考点：建立函数关系，异面直线所成角
答案：
（1）在△中，，； ………………………（ 2分）
其中； ………………………（ 3分）
在△中，， …………………………（ 4分）
在△中，，……………………………（ 6分）
（2）当时，最小，此时．……………………………（8分）
因为在底面中，，所以，又，为异面直线与所成角的平面角，…………………（ 11分）
在△中，为直角，，所以，
异面直线与所成角的大小（或等）……………（ 14分）
备考建议：此类题型，要注意帮学生理清各线段长度之间的对应关系，并加以表示出来。
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.
已知函数（其中）.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断（其中且）的正负号，并说明理由；
（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.
试判断的反函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.
考点：函数奇偶性，函数单调性，恒成立问题。
答案：（1）因为，所以函数的定义域为实数集；…………………………（ 1分）
又，
所以函数是奇函数．…………………………（4分）
（2）因为，所以在上递增，以下给出证明：任取，设，，则
=，所以，即，．……………………（ 6分）
又为奇函数，所以且在上递增．
所以与同号，．
所以，当时，．……（ 8分）
（3）， …………………………（ 10分）
在区间上恒成立，即，
或在区间上恒成立，…………………………（ 12分）
令
因为，，在递增，所以，解得；
所以，．…………………………（ 16分）
注意：第三小题中，关于的解析式的求法，有以下补充：
由，结合第一小题中，得到的函数为奇函数的结论
可推得：
于是，两式相减，即可得，
备考建议：带领学生回忆函数奇偶性的一些性质，以及函数单调性的一些等价形式。
同时，回顾一下“恒成立”与“有解”题型中，对问题向最值问题转化的方法。
23．本题满分16分) 文：本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
理：本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分3分，第3小题满分7分.
在数列中，已知，前项和为，且.（其中）
（1）求数列的通项公式；
（2）求；
（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.
考点：数列通向公式，求和公式，数列极限。
答案：（1）因为，令，得，所以；（ 2分）
（或者令，得）
当时，
，，推得，…………（5分）
又，，所以当时也成立，所以，（）（ 6分）
（2）=………………………（ 9分）
（3）文理相同：假设存在正整数、，使得，、成等比数列，则，、成等差数列，故，（**）………………………（ 11分）
由于右边大于，则，即．
考查数列的单调性，因为，所以数列为单调递减数列．………………………（ 14分）
当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）．
综上得：满足条件的正整数组为．………………………（ 16分）
（说明：从不定方程以具体值代入求解也参照上面步骤给分）
备考建议：对于第一小问，要让学生掌握数列中，与之间互相转化的方法与转换方向的选择。
而第三问中，要带领学生感受，数列单调性与函数单调性之间的联系与不同。

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2015上海静安区期末质检理科数学试题及答案(2)

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