2016成都一诊理科数学试题及答案(2)

15．已知函数 .若存在使得函数的值域为，则实数的取值范围是                ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
    已知等比数列的公比，且．
   （Ⅰ）求的值；
   （Ⅱ）若，求数列的前项和．
17．（本小题满分12分）
某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分．现从中任意选取三道题组成问卷，记随机变量为此问卷的总分．
   （Ⅰ）求的分布列；
   （Ⅱ）求的数学期望．
18．（本小题满分12分）
已知向量m，n，设函数．
   （Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；
   （Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求的值．
19．（本小题满分12分）
如图，菱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，平面，且．
   （Ⅰ）求证：平面；
   （Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分13分）
已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于的任意一点.
   （Ⅰ）求直线与的斜率之积；
   （Ⅱ）设，过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点.则是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数．
   （Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；
   （Ⅱ）当时，设函数.若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．
数学（理科）参考答案及评分意见
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.B；  2.B；  3.C；   4.C；   5.D；   6.A；   7.A；   8.B；   9.D；  10.A.
第II卷（非选择题，共100分）
二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11.；    12.；    13.;      14.；    15..
三、解答题：(本大题共6小题，共75分)
16．解：（Ⅰ） 
由题意，得，
或
17．解：（Ⅰ）由题意，的所有可能取值为15，20，25，30.
∴的分布列为：
15 20 25 30
要使取得最大值，须满足取得最小值.
当取得最大值时,取值的集合为 ……………………6分
（Ⅱ）由题意，得
19.解：（Ⅰ）如图，过点作于，连接
平面平面，平面
平面平面于
平面
又平面，

四边形为平行四边形.

平面，平面
平面                          ………6分
（Ⅱ）连接由（Ⅰ），得为中点，又，为等边三角形，
分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则
，，
设平面的法向量为.由得令，得.
设平面的法向量为.由得令，得.

故二面角的余弦值是.           ………………………12分
20.解：（Ⅰ）.设点.
则有，即
（Ⅱ）令，.与轴不重合，∴设.
由得
由题意,得.即
将（*）式代入上式,得
即
展开，得
整理，得.解得或（舍去）.
经检验，能使成立.
故存在满足题意.                …………………………13分
21.解：（Ⅰ）的定义域为，
①当时，.
由得或.∴当，时，单调递减.
∴的单调递减区间为,.
②当时，恒有，∴单调递减.
∴的单调递减区间为.
③当时，.
由得或.∴当，时，单调递减.
∴的单调递减区间为,.
综上，当时，的单调递减区间为,；
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为,    .………6分
（Ⅱ）当时，，，.当时，，∴在上单调递增.
又在上恒成立.
在上单调递增.
由题意，得
原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根. 
即方程在上有两个不相等的实数根.
令函数.
则.  令函数.
则在上有.
故在上单调递增.
当时，有即.∴单调递减；
当时，有即，∴单调递增.
的取值范围为  

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