2014华约自主招生数学试题真题解析

2014年华约自主招生刚刚结束，笔者第一时间获取了数学考试试题，以下就这份试卷的具体情况作一个整体的分析。

试卷结构和难度

2014年华约试卷的构成和2013年基本没有区别，改变了2010,2011,2012三年的10个选择+5道解答题的模式，直接呈现7个解答题：

题1，考察基本的数的运算，自招简单题，高考考纲内的中等难度题；

题2，考察分类讨论和概率的运算，再加上一点不复杂的函数或者不等式求最值的手段，自招简单题，高考考纲内的中高难度题；

题3，三角函数的化简和性质，自招简单题，高考考纲内的中等难度题；

题4，反函数的定义和处理，自招中档题，高考考纲的边缘题；

题5，解析几何，自招中档题，高考考纲的边缘题；

题6，数列的通项和有界性，自招难题，高考考纲的超纲题；

题7，函数和不等式的处理，自招难题，高考考纲的超纲题。

预计平时学习较好的考生能够自行解决其中的4-5个问题，试卷区分度不错，考察的知识点与往届相比没有明显的区别，整份试卷有一定的计算量。

部分试题评析

（2014年华约题5）已知椭圆和圆，经过椭圆上的动点M作圆的两条切线，切点分别为P，Q，直线PQ与坐标轴的交点分别为E，F，求△EOF面积的最小值。

评析：如果用高考内的知识来解决，在解决直线PQ的问题上会遇到一定的难度，类似的问题在山东省某年高考压轴题中曾经出现过，如果解析几何知识有过一定的拓展，知道这一结论：过圆外一点作圆的切线，切点所在直线方程为，这道题目就迎刃而解。

略解：设椭圆上的动点M坐标为，则直线PQ的方程为，其与坐标轴的交点分别为，，故，且，由均值不等式可知，故，得到。

这个题目化繁为简的关键就在于处理了圆的极线方程，这是从二次曲线的切线方程知识中拓展出来的，而这点在学而思的课堂上已经有过充分的讲授。

（2014年华约题7）求证：当时，

评析：这个题目如果没有经过自主招生的系统训练，是很难做出来的，我们在学而思自招课程上提过，只要涉及到含e的不等式，华约和卓越的体系中，使用“”这个不等式几乎一定成功。这道题目的关键步骤就是左边处理，剩下的部分就迎刃而解了。

从华约的整体命题而言，难度和风格这些年趋于稳定，考察的核心知识点也没有太大的变动，今后的考生要给予相当的重视。

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