2013乌鲁木齐三模数学试题答案【理科】(2)

（Ⅱ）以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ，
．
故 ．
设平面 的法向量为 ，
则
取 ，则 ，
由 ，  知  平面 ，
故 为平面 的法向量，又 ，
则 ，
又二面角 为锐角，故所求二面角的余弦值为 ．        …12分
19．（Ⅰ）设第  组的频率为 ， 由频率分布图知
．             
所以成绩在 分以上的同学的概率 ≈ ，
故这 名同学中，取得面试资格的约为 人；                   …4分
（Ⅱ）成绩在 分以上的同学的人数约为 (人) ．
         设 人中三题都答对的的人数为 ，则 ，
所以，获得 类资格的人数约为 人；     
设 人中三题都答错的的人数为 ，则 ，
所以，获得 类资格的人数约为 (人) ．           …12分

20．（Ⅰ）由 得  不妨设 ，左焦点为 ．
，由直线 过左焦点 ，且倾斜角为 ，可得 ，
所求椭圆 的方程为 ；                                 …5分
（Ⅱ）设 ， ．
（ⅰ）当 时，有 轴，此时 ， ，
，又 ，∴ ，
，∴ ，于是 ．
∴ ，故  ．
（ⅱ）当 时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ，记 ，直线 的方程为 ，
点 、 满足 ．
∴ ， ．
∴ ，
．
①若 ， 中有一个不存在时，不妨设 不存在，即 轴，此时 ．
∵ ，∴ ， ， 共线，可知 ，∴ ∥ 轴，故  ．
②若 ， 都存在．
   ，由 及 ，
代入此式，化简后得 ，故  ．
综上所述，  ．                                               …12分
21．（Ⅰ） ．
设 ， ．
（1）当 时，  无意义，∴ ．
（2）当 时， 的定义域为 ．
令 ，得 ， ， 与 的情况如下：

故 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 
（3）当 时， 的定义域为 ．
令 ，得 ， ， 与 的情况如下：

所以 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．…5分
（Ⅱ）（1）当 时，由（Ⅰ）可知， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存在最大值 ．下面研究最小值：
由于 的定义域为 ．
①若 ，即 时，结合 的定义域可知 在 上没有最小值，不合题意．
②若 ，即 时，∵在 单调递增，∴ 在 存在最小值 ；∵ 在  单调递减，∴ 在 不存在最小值．
所以，要使 在 上存在最小值，只可能是 ．
计算整理 ．
要使 在 上存在最小值，需且只需  ，
．
∵ ，则问题转化为  ， 恒成立．
设 ，则需且只需 ，或 ．可解得：