2015年唐山高三9月模拟考试文科数学试题试卷及答案(2)

请考生在第(22)，(23)，(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑

22(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，⊙O过平行四边形ABCT的三个顶点B，C，T，且与AT相切，交AB的延长线于点D.
(1)求证：AT²＝BT·AD；
(2)E、F是BC的三等分点，且DE＝DF，求∠A.
23(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于M，N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.


24(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数(m＞0)
(1)证明：f(x)≥4；
(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.
唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案

1. 一、 选择题：

A卷：CDBCA BCDCD BA
B卷：ADBCC ACDDC BB
二、填空题：
（13）（，＋∞） （14）6 （15）x²－＝1 （16）3＋ 
三、解答题：
（17）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由题设得a₁＝S₁＝2k－1，
a₂＝S₂－S₁＝4k－1，
由a₂－a₁＝2得k＝1，
则a₁＝1，a_n＝a₁＋(n－1)d＝2n－1. …4分
（Ⅱ）b_n＝b_n－1＋2＝b_n－2＋2＋2＝b₁＋2＋2＋…＋2＋2．
由（Ⅰ）知2＝2^2n－1，又因为b₁＝2，所以
b_n＝2¹＋2³＋2⁵＋…＋2^2n－3＋2^2n－1＝＝．
明显，n＝1时，也成立．
综上所述，b_n＝． …12分
（18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由直方图可得：20×(x＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，
解得x＝0.0125． …4分
（Ⅱ）设中位数为t，则
20×0.0125＋(t－20)×0.0250＝0.5，得t＝30.
样本数据的中位数估计为30分钟． …8分
（Ⅲ）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．
因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，
抽取不享受补助人员25×88%＝22人． …12分

（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）连接A₁C，交AC₁于点E，
则点E是A₁C及AC₁的中点．
连接DE，则DE∥A₁B．
因为DE平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A₁B∥平面ADC₁，
则点A₁与B到与平面ADC₁的距离相等，又点D是BC的中点，点C与B到与平面ADC₁的距离相等，则C到与平面ADC₁的距离即为所求． …6分
因为AB＝AC，点D是BC的中点，所以AD⊥BC，又AD⊥A₁A，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁．
作于CF⊥DC₁于F，则CF⊥平面ADC₁，CF即为所求距离． …10分
在Rt△DCC₁中，CF＝＝．
所以A₁到与平面ADC₁的距离为． …12分
（20）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）f(x)＝2e^x－a．
若a≤0，则f(x)＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a＞0，则
当x∈(－∞，ln)时，f(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(ln，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增． …5分
（Ⅱ）注意到f(0)＝0．
若a≤0，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．
若ln≤0，即0＜a≤2，则当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0，符合题意．
若ln＞0，即a＞2，则当x∈(0，ln)时，f(x)单调递减，f(x)＜0，不合题意．
综上所述，a的取值范围是(－∞，2]． …12分
（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）因为离心率为，所以＝．
当m＝0时，l的方程为y＝x，
代入并整理得x²＝． …2分
设A(x₀，y₀)，则B(－x₀，－y₀)，
·＝－x－y＝－x＝－·．
又因为·＝－，所以a²＝25，b²＝16，
椭圆C的方程为． …5分
（Ⅱ）l的方程为x＝y＋m，代入并整理得
25y²＋20my＋8(m²－25)＝0．
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则|PA|²＝(x₁－m)²＋y＝y，同理|PB|²＝y． …8分
则|PA|²＋|PB|²＝( y＋y)＝[(y₁＋y₂)²－2y₁y₂]
＝[(－)²－]＝41．