北京101中学2014届高三上学期阶段性考试数学试题答案(理科)(2)

这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，
所以或
　　当时，则接下来只能操作第一行，
此时每列之和分别为
必有，解得
当时，则接下来操作第二行，
　　此时第4列之和为负，不符合题意。                         ……6分    
　　②如果首先操作第一行，则有
　　则每一列之和分别为，，，
　　当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉
　　当时，，至少有一个为负数，
　　所以此时必须有，即，所以或
经检验，或符合要求
综上：                                      ……9分
　　（3）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数。证明如下：
　　记数表中第行第列的实数为（），各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，则。记
　　
　　。
　　按要求操作一次时，使该行的行之和（或该列的列之和）由负变正，都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时，必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立。    

下载完整版本试题答案：

北京101中学2014届高三上学期阶段性考试数学试题答案(理科)