北京市海淀区2014届高三上学期期中考试理科数学试题答案(2)

　　所以切线方程为.                          ------------------------------4分
(II）,   ----------------------------5分
　　由得,                        ------------------------------6分
　　当时，在或时，在时,
　　所以的单调增区间是和，单调减区间是；  ---------------7分
　　当时，在时，所以的单调增区间是；-----8分
　　当时，在或时，在时.
　　所以的单调增区间是和，单调减区间是. ---------------10分
(III）由（II）可知在区间上只可能有极小值点，
　　所以在区间上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分
　　即有且,
　　解得.                      ---------------------14分
20.（本小题满分13分）
　　已知数列的首项其中，令集合.
（I）若是数列中首次为1的项，请写出所有这样数列的前三项；
（II）求证：；
（III）当时，求集合中元素个数的最大值.
解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.                    --------------------------------------3分
（II）若被3除余1，则由已知可得,；
　　　若被3除余2,则由已知可得,,；
　　　若被3除余0，则由已知可得,；
所以，
　　　所以
　　　所以，对于数列中的任意一项，“若，则”.
　　　因为，所以.
　　　所以数列中必存在某一项（否则会与上述结论矛盾！）
　　　若,则；若,则,若,则,
　　　由递推关系易得.               ---------------------------------------8分
（III）集合中元素个数的最大值为21.
　　　由已知递推关系可推得数列满足：
　　　当时，总有成立，其中.
　　　下面考虑当时，数列中大于3的各项：
　　　按逆序排列各项，构成的数列记为，由（I）可得或9，
　　　由（II）的证明过程可知数列的项满足：
　　　，且当是3的倍数时，若使最小，需使，
　　　所以，满足最小的数列中，或7，且，
　　　所以，所以数列是首项为或的公比为3的等比数列，
　　　所以或，即或，
　　　因为，所以，当时，的最大值是6，
　　　所以，所以集合重元素个数的最大值为21.---------------13分

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