2013福州高三质检数学试卷试题答案【理科】

2013福州高三质量检查数学试卷试题答案【理科】

　　
　　第Ⅰ卷 （选择题  共50分）
　　
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）
是虚数单位，复数，．若的虚部为，则等于A．2 B．-2 C．1 D．-1
要得到函数的图象，只须将的图象上的所有的点A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
根据某市环境保护局公布2007-2012这六年每年的空气质量优良的天数，绘制折线图如图．根据图中信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是A. 
    B. 
　　C.           
　　D. ４.已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件
5.已知命题“直线与平面有公共点”是真命题，那么下列命题：①直线上的点都在平面内；②直线上有些点不在平面内；③平面内任意一条直线都不与直线平行．其中真命题的个数是A.3 B.2 C.1 D.0
6.已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为A.127 B.255 C.511 D.1023
7.设则中奇数的个数为A．2 B．3 C．4 D．5
8.已知点是△所在平面内的一点，边AB的中点为D，若，其中，则点一定在A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上C．AC边所在的直线上 D．△的内部
9.对于任意给定的实数，直线与双曲线，最多有一个交点，则双曲线的离心率等于A． B． C． D．
10.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①，；  ②，；③，； ④，， 则在区间上的存在唯一“友好点”的是A．①②      B．③④    C． ②③     D．①④

第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）
11.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为         .
12.已知函数，则的值等于        ．
13. 已知程序框图如右图所示，执行该程序，如果输入，输出，则在图中“？”处可填入的算法语句是         （写出以下所有满足条件的序号）．　①；
  ②；   ③；
  ④．
14.在区间上任取两个数，，能使函数在区间内有零点的概率等于________.
15.设数列是由集合，且，中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，a5＝30，a6＝36，…，若＝，且，，则的值等于____________．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（本小题满分13分）已知平面向量a，b=，定义函数（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）若函数图象上的两点、的横坐标分别为和，为坐标原点，求△的面积．

17.(本小题满分13分)某校高三2班有48名学生进行了一场投篮测试，其中男生28人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别对全班的学生进行编号（1~48号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮考试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：                                                                （Ⅰ）从甲抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩，记“抽到投篮成绩优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由.
下面的临界值表供参考：
　　0.15 　　0.10 　　0.05 0.010 0.005 0.001
　　 　　2.072 　　2.706 　　3.841 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中）
18.(本小题满分13分)如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
19. (本小题满分13分) 已知，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设直线与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直线没有公共点，求证：．
20.(本小题满分14分) 已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论函数在区间上的单调性；（Ⅲ）证明不等式对任意成立．
本题有(1)．(2)．(3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知线性变换：对应的矩阵为，向量β．（Ⅰ ）求矩阵的逆矩阵；（Ⅱ ）若向量α在作用下变为向量β，求向量α．
(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆的极坐标方程为．现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆上的动点的直角坐标为，求的最大值，并写出取得最大值时点P的直角坐标．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（Ⅰ ）求的值；（Ⅱ ）若，求的取值范围．

2013年福州市高中毕业班质量检查
数学（理科）试卷参考答案及评分标准

说明：
　　一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
　　二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
　　三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
　　四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分．
1.A   2.C   3.C    4.A    5.D    6.B    7.A     8.C   9.D   10.D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共20分．