2013福州高三质检数学试卷试题答案【理科】(2)

11．  12．3  13．②③④  14．  15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础知识，考查运算求解能力及数形结合思想、化归与转化思想等，满分13分．
解：（Ⅰ）依题意得………………………………1分
　　　　 …………………………………………………………………3分
　所以函数的值域为．………………………………………………………5分
（Ⅱ）方法一 由（Ⅰ）知，
，，………………………………6分
　从而　　.………………………………………………7分

∴，
……………………………………………9分
根据余弦定理得
.
∴，…………………………………………………………………10分
　△的面积为.…………13分
方法二 同方法一得：.…………………………………………7分
  则 . ………………………………………………8分
.……………………………………………10分
所以，　
△的面积为.……………13分
方法三 同方法一得：.…………………………………………7分
直线的方程为，即. …………… …………………8分
点到直线的距离为. ……………………10分
又因为，………………………………………………………11分
所以△的面积为.…………………13分
17．本题考查抽样、独立性检验、离散型随机变量的分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，满分13分．解：（Ⅰ）由甲抽取的样本数据可知，投篮成绩优秀的有7人，投篮成绩不优秀的有5人．
X的所有可能取值为．……………………………………………………1分
所以，，．…4分
故的分布列为
∴．    ……6分
（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得列联表如下：
优秀 非优秀 合计
男 6 1 7
女 1 4 5
合计 7 5 12
…………7分
的观测值3.841，……………………………9分
所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关．        ……………………10分（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．   ……………………11分由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．  ……………………13分
18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）如图，连接ED，
　∵底面且，∴底面,
　∴,
　∵,
　∴面,      ----------------1分
　∴, --------2分
　  , -------------3分
　∴多面体的体积
　．--------------5分
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
所以 ------7分
设平面ECF的法向量为，
则　　　得： …
取y=1,得平面的一个法向量为    ------9分

设直线与平面所成角为，
所以----11分  
　（Ⅲ）取线段CD的中点；连接，直线即为所求． ---------------12分
　　 图上有正确的作图痕迹………………………………13分

19．本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转化思想等，满分13分．解：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．依题意，且，………………３分整理得．所以，曲线的方程为：，．………5分（Ⅱ）由得，，  ……7分由已知条件可知，，所以，从而，　　　即．   ………………13分
20．（本小题满分14分）
本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．
解：．（Ⅰ）当时，，切线的斜率，所以切线方程为，即．  ……3分（Ⅱ）当时，因为，所以只要考查的符号．由，得，当时，，从而，在区间上单调递增；当时，由解得． ……6分当变化时，与的变化情况如下表：
函数在区间单调递减，在区间上单调递增．   ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在区间上单调递增；所以，…即对任意成立．  ……11分取，，得，即，．……13分将上述n个不等式求和,得到:，即不等式对任意成立． ……14分