2013福建省三明市质量检查理科数学试题答案(2)

　（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；
　（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
　　已知函数．
　　（Ⅰ）求的最小值；
　　（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围.
2013年三明市普通高中毕业班质量检查
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
1．C     2．A      3．B      4．B      5．B
6．C     7．A      8．C．    9．A     10.D
二．填空题：
11．0.2；      12．3；      13．15；      14．；     15．．
三、解答题：
16．解法一：（Ⅰ）取的中点，连结，
　　则，且，……………2分
　　又，∴且，
　　所以四边形是平行四边形，
　　则，               ………………5分
　　又因为平面，平面，
　　所以平面．     …………………6分
　（Ⅱ）依题得，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，
　　则，，，，，，
　　所以，．
　　设平面的一个法向量为，
　　则即，
　　取，得，．  ………………10分
　　又设与平面所成的角为，，
　　则，               
　　故与平面所成角的正弦值为．…………………………………13分
　　解法二：（Ⅰ）取的中点，连结，
　　则，
　　又因为平面，平面，
　　平面，平面，
　　所以平面，平面，
　　又，所以平面平面，
　　平面，∴平面．……………6分
　　（Ⅱ）同解法一．     …………………………………13分
17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为，
　　从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为．
　　设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件，则，
　　故至少有一位市民会购买本地家禽的概率．…………………………6分
　　（Ⅱ）的所有可能取值为：2，3，4．
　　，，，
　　
　　
　　所以的分布列为：
2 3 4
  
　　　．               …………………………13分
18．解：（Ⅰ）设，易知，又，得，于是有．
　　故椭圆的标准方程为．  ……………4分
　（Ⅱ）联立得，
　　的坐标为．故．
　　依题意可得点的坐标为．设的坐标为，  
　　故．
　　因为，所以，解得，
　　于是直线的斜率为，         …………………………8分
　　从而得直线的方程为：，代入，
　　得，
　　即，知，
　　故直线与椭圆有且仅有一个公共点．                  …………………………13分
19．解：(Ⅰ）①在中，，，，
　由余弦定理，，
　　所以．………………3分
　　②在中，，，， 
　　.
　　由正弦定理，，
　　得，，
　　则．  …………6分
　　(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式，，
　　，
　　由得，，记，
　　则当时，，；当时，，；
　　所以当，时，总路程最小值为，
　　此时，，
　　答：当时，总路程最小,最小值为． ……………………13分
20．解：（Ⅰ）依题可得 ，
　　当时，恒成立，函数在上单调递增；
　　当时，由，解得或，
　　单调递增区间为和．               ……………………………4分
　　（Ⅱ）设切线与直线的公共点为，当时，，
　　则，因此以点为切点的切线方程为．
　　因为点在切线上，所以，即．
　　同理可得方程.                     ……………………………6分
　　设，则原问题等价于函数至少有两个不同的零点.
　　因为，
　　当或时，，单调递增，当时，，单调递减．
　　　因此，在处取极大值，在处取极小值．
　　　若要满足至少有两个不同的零点，则需满足解得．
　　　故存在，且交点纵坐标的取值范围为．        …………………………………10分
　　(Ⅲ）由(Ⅰ）知，，即．        ………………………………11分
　　　本题答案不唯一，以下几个答案供参考：
　　　①，其中；
　　　②其中；
　　　③其中．  ………………14分
21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
　　解：（Ⅰ）由已知得，矩阵．     ………………3分
　　（Ⅱ）矩阵，它所对应的变换为解得
　　把它代人方程整理，得 ，
　　即经过矩阵变换后的曲线方程为 .　        ……………………7分
　　（注：先计算，再求曲线方程，可相应酌情给分）