甘肃天水一中2013高三五月第二次检测数学试题答案【理科】(2)

21. (本小题满分12分) 设函数，其中。
⑴当时，判断函数在定义域上的单调性；
⑵求函数的极值点；
⑶证明对任意的正整数，不等式成立.

　　请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
　　如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M, N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点．
（Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；
　　（Ⅱ）在（I）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
　　　设函数．
　　（Ⅰ）求不等式的解集；
　　（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案
1——12：BCABD  DCDAB  CC  
13.    14. 1     15.      16. S1＞S2＞S3
17．解（Ⅰ）(1)

的单调减区间为………6分
  (2),由余弦定理可变形为，由正弦定理为

     ………12分
18．（Ⅰ）的所有取值为0．8，0．9，1．0，1．125，1．25，
其分布列为：
0．8 0．9 1．0 1．125 1．25
0．2 0．15 0．35 0．15 0．15
……………………2分
的所有取值为0．8，0．96，1．0，1，2，1．44，其分布列为
0．8 0．96 1．0 1．2 1．44
0．3 0．2 0．18 0．24 0．08
……………………4分
（Ⅱ）设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为， ，则

∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大．……………………6分
（Ⅲ）方案一、方案二的预计利润为、，则
10 15 20
0．35 0．35 0．3
10 15 20
0． 5 0．18 0．32
 
　　 ∴实施方案一的平均利润更大。……………………12分
19．解：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，则，
又，可得,所以， 所以，CG=,故CD=  ……………………………………………2分
取CD的中点为F，BC的中点为H,因为，，所以为平行四边形，得，………………………………4分
平面   ∴
　　存在F为CD中点，DF=时，使得……6分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则、、        
　　、，从而， 
　　，。
　　设为平面的法向量，
　　则
　　可以取  ……………………8分
　　设为平面的法向量，
　　则
　　取   ……10分
　　因此，，…………11分
故二面角的余弦值为……………12分
20．解：⑴设E（x，y），D（x0，y0）
∵ABCD是平行四边形，∴，
∴（4，0）+（x0+2，y0）=2（x+2，y）∴（x0+6，y0）=(2x+4，2y)

∴□ABCD对角线交点E的轨迹方程为
⑵设过A的直线方程为
以A、B为焦点的椭圆的焦距2C=4，则C=2
设椭圆方程为 ，  即…………………（*）
将代入（*）得 
即
设M（x1，y1），N（x2，y2）则

∵MN中点到Y轴的距离为，且MN过点A，而点A在Y轴的左侧，∴MN中点也在Y轴的左侧。

∴所求椭圆方程为
21.

⑵①由⑴得当时函数无极值点………………………（4分）
②时，有两个相同的解
时，，时，
函数在上无极值点………………………（5分）
③当时，有两个不同解，，
时，，即
时，、随的变化情况如下表：

↘ 极小值 ↗
由此表可知时，有唯一极小值点；………………（7分）
当时，，,此时，、随的变化情况如下表：

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由此表可知：时，有一个极大值点和一个极小值点；……………（9分）
综上所述：时，有唯一极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点。…………（10分）

22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
　　解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.
　　∵BM＝MN＝NC＝1，∴2BM2＝AB2，∴AB＝.………4分
　　∵AB2＋AC2＝BC2，∴2＋AC2＝9，AC＝.
　　∵CN·CM＝CD·CA，∴2＝CD·，∴CD＝.
　　∴⊙O的半径为(CA－CD)＝.………10分
　　
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）圆锥曲线的参数方程为（为参数），
　　　　所以普通方程为：----------------------------------------------2分
     
　　　直线极坐标方程为：---5分
（2），
---------------------------------------------------10分

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1），----------------------------------------------------------2分
　当
　当
　当综上所述  ．-----------------5分
（2）易得，若，恒成立，
     则只需，
综上所述．------------------------------10分

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