甘肃省张掖中学2014高三第二次模拟考试理科数学试题答案(3)

f（x）是偶函数，关于y轴对称，故③正确；
如图f（x）≠0，没有零点，故④错误；
如图可知函数f（x）的图象，x=1换为x=a，在四个象限都有图象，
此时与直线y=kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．故⑤正确；
故答案为：③⑤；
⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+b（k≠0）的图象至少有一个交点．
17.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知。
（Ⅰ）求角A的大小;
（Ⅱ）若，判断的形状。
解：（Ⅰ）在中，，又
18如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
[解析]　以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，，0)、F(，，)、P(0,0，a)．
(1)·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.-------4分
(2)设G(x,0，z)，则G∈平面PAD.
＝(x－，－，z－)，
·＝(x－，－，z－)·(a,0,0)＝a(x－)＝0，∴x＝；
·＝(x－，－，z－)·(0，－a，a)＝＋a(z－)＝0，∴z＝0.
∴G点坐标为(，0,0)，即G点为AD的中点．---------8分
(3)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)．
由得，即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<，n>＝＝＝，
∴DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为------12分
19.某种食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）2袋食品都为废品的情况为：
①2袋食品的三道工序都不合格；
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格；
③两袋都有两道工序不合格，
所以2袋食品都为废品的概率为．
（Ⅱ）由题意可得 ξ=0，1，2，3，，，
P（ξ=3）==，故 P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，得到ξ的分布列如下：

∴．
20．已知，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n﹣1（x）（n∈N*）．
（Ⅰ）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设fn（x）的极小值点为Pn（xn，yn），求yn；
（Ⅲ）设，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，试求a﹣b的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）（n∈N*）．…（4分）
（Ⅱ）∵，
∴当x＞﹣（n+1）时，；当x＜﹣（n+1）时，．
∴当x=﹣（n+1）时，fn（x）取得极小值，
即（n∈N*）．…（8分）
（Ⅲ） 解法一：∵，所以．…（9分）
又，
∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），
令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，
∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，
∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，
∴当0≤x＜x0时，h'（x0）＜0；当x＞x0时，h'（x0）＞0，
即h（x）在[x0，+∞）单调递增，在[0，x0）单调递减，
∴（h（x））min=h（x0），
又∵h（3）=e﹣4，h（4）=1+e﹣5，h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a﹣b取得最小值e﹣4．…（14分）
解法二：∵，所以．…（9分）
又，
∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），
令，
则，…（10分）
当n≥3时，，又因为n≥3，所以2n﹣5≥1，，，所以，所以cn+1＞cn．…（12分）
又，c1＞c2＞c3，
∴当n=3时，a﹣b取得最小值e﹣4．…（12分）

21已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A1．
（ⅰ）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△OA1B面积的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1．
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
所以，解得a=2，b=所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）（i）设直线l：x=my+4与联立并消去x得：（3m2+4）y2+24my+36=0．
记，．
由A关于x轴的对称点为A1，得A1（x1，﹣y1），
根据题设条件设定点为T（t，0），得，即．
所以=即 定点T（1，0）．

（ii）由（i）中判别式△＞0，解得|m|＞2．可知直线A1B过定点T（1，0）．
所以|OT||y2﹣（﹣y1）|=，
得，
令t=|m|记，得，当t＞2时，φ′（t）＞0．
在（2，+∞）上为增函数．所以，
得．故△OA1B的面积取值范围是．
选修4﹣4：坐标系与参数方程．
22在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=；θ=；与曲线C2交于点D（，）
（1）求曲线C1，C2的方程；
（2）A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．
解答： 解：（1）将M（2，）及对应的参数φ=；θ=；
代入得：  得：
∴曲线C1的方程为：（∅为参数）或．
设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x﹣R）2+y2=R2），将点D（，）
代入得：=2R•
∴R=1
∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x﹣1）2+y2=1）…（5分）
（2）曲线C1的极坐标方程为：+=1
将A（ρ，θ），Β（ρ，θ+）代入得：+=1，+=1
∴+=（+）+（+）=…（10分）
23．选修 4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x2﹣2x．

解答：

解：（11）f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3
又当﹣1＜x＜2时，﹣3＜﹣2x+1＜3，∴﹣3≤f（x）≤3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5
∴若使f（x）≤a恒成立，应有a≥fmax（x），即a≥3
∴a的取值范围是：[3，+∞）
（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，∴﹣1≤x≤2，∴x=1；