2015揭阳一模文科数学试题及答案【word版】(2)

-----------------------①---------------------------------6分
将①代入并整理得，---------------8分
解得：，--------------------②---------------------10分
17．解：（1）
(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分
故此人到达当天空气质量优良的概率：-------------------------------------------------------------11分
故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分
18.解：（1）证明：AB⊥平面BCD，平面  ，----------------1分
又， ， 平面，------------------------------2分
又E、F分别是AC、AD的中点，∴---------------------------------------3分
∴EF⊥平面ABC
又平面BEF，平面BEF⊥平面ABC -----------------------------------------4分
（2） CD // EF，平面，平面
∴平面，----------------------------6分
又平面BCD，且平面平面
∴．------------------------------------8分
（3）解法1：由（1）知EFCD
∴------------------------------9分
   ∴------------------11分
------------------14分
[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分
∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------10分
由（1）知EF⊥平面ABC，
∴------12分
.----------------14分]


19.解：（1）由和可得，------------------2分
（2）解法1：当时，由
得，---------------------------------4分
---------------------6分
∴数列是首项，公差为6的等差数列，∴-------------8分
[解法2：当时，由------------------4分
可得  ,---------------------------------6分
∴数列为首项,公差为3的等差数列，
，即.
∴---------------------------------------------------------------------8分]
（3）证明：由（2）知-----------------------------------10分
--------------------------------------------------12分
，
命题得证．---------------------------------------------------------------------14分
20.解：(1)解法1： ∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，
∴设点,----------------------------------------------------------1分
∵抛物线C的准线为，由结合抛物线的定义得-------①-----2分
又点在抛物线C上，∴.----------------------②-----3分
由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为.-------------------------5分
[解法2：∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，
∴设点,----------------------------------------------------------1分
∵抛物线C的焦点为，由得,
即，-------------------------------------------①-------------2分
又点在抛物线C上，∴.--------------②-------------3分
由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为.-------------------------5分]
（2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，
则点必在轴上，设，--------------------------------------------------6分
又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，
由得，∴，---------------------------------------7分
∴直线的方程为，--------------------------------------------8分
令得，∴点的坐标为，-----------------------------9分
--------------------------------------10分
∵点在以为直径的圆上，
∴--------------12分
要使方程对恒成立，必须有解得，-------------------------13分
∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为．--------14分
[解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得，∴，-----------------------------------6分
∴直线的方程为，---------------------------------------------7分
令得，∴点的坐标为，-------------------------8分
∴以为直径的圆方程为：--------③----10分
分别令和，由点在抛物线上得，
将的值分别代入③得：-------------------------------④
--------------------------------------------------------⑤
④⑤联立解得或，-----------------------------------------------12分
∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或，
将的坐标代入③式得，
左边==右边，
将的坐标代入③式得，
左边=不恒等于0，------------------------------------13分
∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为．--14分]
21.解：（1）∵当时， 函数，
∴，---------------------------------------------------------1分
令得，
当时，当时，，即函数在单调递减，在单调递增，---------------------------------------------------------------3分
∴函数在处有极小值，
∴.----------------------------------------------------------4分
（2）解法1：∵函数=在区间上为减函数
∴在上恒成立在上恒成立，----5分
设，则 ---7分
当时，，
所以在上恒成立，即函数在上单调递减，-------------------8分

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