2014东莞二模数学试题答案【理科】(2)

设表示“银杏树成活棵”；；；
表示“梧桐树成活棵”；；；；
（2）可能的取值：
；；
同理：；；；
∴的分布列为
18.【解析】(1)证明:连结，由正方形性质可知, 与相交于的中点,
也为中点,为中点.
所以在中,// 
又平面,平面,   
所以平面 
(2)证明:因为平面平面, 平面面   
为正方形,,平面,所以平面.  
又平面,所以.
又,所以是等腰直角三角形,且,即.                 
又,且、面,所以面. 
又面, 所以面面
(3) 取的中点,连结,,因为,所以.  
又侧面底面,平面平面,  所以平面,
而分别为的中点,所以,又是正方形,故
以为原点,建立空间直角坐标系, 
则有,,,,,
若在上存在点使得二面角的余弦值为 ,连结,设,
则,由(Ⅱ)知平面的法向量为, 
设平面的法向量为.则,即,解得
令,得,来源:学.科.网]
所以,解得(舍去). 
所以,线段上存在点(),使得二面角的余弦值为.
20.【解析】(1)由,, 
根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,
其长轴,焦距,短半轴,故的方程为. 
(2)过点与X轴垂直的直线不与圆相切，故可设:,由直线与曲线
相切得,化简得  
由,解得 
联立,消去整理得, 
直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,有 
令,则,
考查函数的性质知在区间上是增函数,
所以时,取最大值,从而.  
21.【解析】解：（1）时，，， 
所以，函数的图象在点处的切线方程为
（3）考虑函数，，，
则，
当时，，单调递减；
当时，；
当时，，单调递增；
所以，当，时，，
当且仅当时，．
所以，
而，
令，则，
两式相减得，
．
所以，，
故．
所以，．
当且仅当时，
．
所以，存在唯一一组实数，，
使得等式成立．

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2014东莞二模数学试题答案【理科】