广西桂林十八中2014届高三上学期第三次月考数学试题答案(理)(2)

三、解答题:
(17)解：由及正弦定理得
　　　,  2分
　. 4分
　 得.   6分
　　　. .  8分
　　　. 10分
  (18)解：方法一：
　　　(I)平面平面, .   1分        
       , 平面.  2分
　　　平面， .
       平面  4分
　　　平面，.
       又，为的中点. 6分
     (II) . 据余弦定理得：. 7分
　　　故. 设点到面的距离为,
　　　则  ,  8分
　　　整理得，解得. ……………………………………………………………………… 10分
　　　又，设二面角的大小为，则.………… 11分
　　　故二面角的大小为. ……………………………………………………………12分
     方法二：取中点，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，
    . …………………………………………2分
  (I)
     ，即为的中点. ………………………………… 6分       
  (II) ,设平面的一个法向量为，则
       令则. ………………………………… 8分
    平面的一个法向量为，
　故二面角的大小为. …………………………………………………………12分
(19)解：记答对、甲、乙各题分别为事件，
　则…………………………………2分
(I)所求事件的概率为. 
答：(I) 该学生被公司聘用的概率为.(II) 该学生答对题目的个数的期望.
(20)【解】（1） 1分
2分
猜想 3分
用数学归纳法证明 6分
或如下求解：

于是是以为首项，为公比的等比数列，
故，即 6分
(21)解：(I)当时，，则，.……………………………………………… 2分
　　　　设椭圆方程为，则，又，所以.
　　所以方程为. 
　　    (II) 因为，，则，，设椭圆方程为.………5分
由得, …………………………………………………………6分
　　
　　即，得代入抛物线方程得，即.
　　，，
　　因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以. 
　　此时抛物线方程为，，直线方程为.
　　联立得，即.
　　所以，代入抛物线方程得，即.………………………………………9分
　∴. 设到直线的距离为
　　则.
　当时，，
　∴面积的最大值为
　　所求切线方程为：    ……………………5分
　　⑵即，
　　即             ……………………7分
　　设，问题等价于存在，使成立，求的范围；
　　只须     ……………………9分
　　设
　　由，知在上单调递增，故，
　　即对，恒有，故对，有，
　　故为所求.     

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