河北衡水中学2013十模数学试题答案【二】(2)

18. （本小题满分12分）某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：
A型车                                 B型车 

出租天数 34 5 6 7
车辆数 3 30 5 7 5
出租天数 3 4 5 6
车辆数 10 10 15 10 5
（1）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需要写出结果）；
（2）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽到一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；
（3）如果两种车型每辆车每天出租得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由。

19．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在
底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(1)求四棱锥的体积。
(2)设点M在棱PC上，且为何值时，
PC⊥平面BMD.
20. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．
　　（1）若点的横坐标为，求直线的斜率；
　　（2）记△的面积为，△（为原点）的面
积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．
21. （本小题满分12分）已知函数。
　　（1）求函数的单调区间。
　　（2）若上恒成立，求实数的取值范围
　　（3）在（2）的条件下，对任意的，求证：

　　请考生在第22～24三题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
    如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD//AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且
   （1）求证：A、P、D、F四点共圆；
   （2）若AE·ED=24，DE=EB=4，求PA的长。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线：（t为参数），曲线：。
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）求直线被曲线所截的弦长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
　　已知函数．
　 （1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围
　　　　2012—2013学年度高三年级十模考试文科数学答案
18. 解：（1）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租的天数方差较大。………2分
（2）这辆汽车是A类型车的概率约为…………6分
（3）50辆A类型车出租的天数的平均数为
50辆B类型车出租的天数的平均数为
所以应该购买B型车。…………12分
19. 解：(1)由BO=2,PO=可得
设直角三角形中
解得    V=…………6分
(2) 由已知易得：平面PAC,所以过D作交PC于M则平面 又在中，，
，  故时，平面…………12分
21． 解：（Ⅰ）
当时，恒成立，则函数在上单调递增；………2分
当时，由，则
则在上单调递增，在上单调递减．　　     …………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当时显然不成立；　　　　　　　　　　　　
  当时，,
只需即可　……………………．6分
令,则，函数在上单调递减，在上单调递增．
，即对恒成立，也就是对恒成立，∴解得
∴若在上恒成立，=1． …………8分
(Ⅲ）　
由得,由（Ⅱ）得： ,…………10分
则,
则原不等式成立　　……12分

21. （Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为．      ………1分
　　　　将其代入，整理得 ．
　　　　设，，所以 ．    ………………3分
　　　　故点的横坐标为．依题意，得，   
　　　　解得 ．     ………6分
（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．
　　　　由（Ⅰ）可得 ．………………8分
　　　　因为 ，
　　　　所以 ，
　　　　解得 ， 即 ．         ………10分
　　　　因为 △∽△，所以 ．    
　　　　所以 ，整理得 ． 因为此方程无解， 所以不存在直线，使得 ．      ………………12分
22．（1）证明：，
　　故，所以四点共圆．  ………………5分
（2）解：由（Ⅰ）及相交弦定理得，
又，
，
由切割线定理得，
　　所以为所求．   ………………10分
23. 解：（Ⅰ）把直线化成普通方程得，
把曲线：化成
∴其直角坐标方程为…………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆[来源:学&科&网]
∴圆心到直线的距离, ∴弦长为…………10分
24. 解：（1）由得，解得.
  又已知不等式的解集为，所以解得.…………5分
（2）当时，。设.由（当且仅当时等号成立）得，的最小值从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为(-，5]. …………10分

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